絶対収束するための条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 09:17 UTC 版)
「フーリエ級数の収束」の記事における「絶対収束するための条件」の解説
関数 f が絶対収束するフーリエ級数を持つ場合、 ‖ f ‖ A := ∑ n = − ∞ ∞ | f ^ ( n ) | < ∞ . {\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .} この条件が成り立つ限り、(SN f)(t) がすべての t について絶対収束すること、また (SN f)(t) がひとつの t について絶対収束するだけであってもこの条件が成り立つことは明らかである。すなわち、ある 1 点でそれが絶対収束するならば、すべての点で絶対収束する。言い換えれば、絶対収束性はどこ で部分和が絶対収束するかを問題としない。 フーリエ級数が絶対収束するすべての関数の族はバナッハ代数である（この代数における乗法は、単純な関数の積である）。また、これはノーバート・ウィーナーに因んでウィーナー代数（英語版）と呼ばれる。ウィーナーは f が絶対収束するフーリエ級数を持ち、かつそれがゼロにならない場合に 1/f が絶対収束するフーリエ級数を持つことを証明した。オリジナルのウィーナーの定理の証明は異なっており、バナッハ代数の性質を利用してそれを単純化したのはイズライル・ゲルファントである。最終的に短い初等的な証明を与えたのはドナルド・ニューマン（英語版）であり1975年の事である。 f がα > 1/2 について α-ヘルダークラスに属するならば、ヘルダー条件における定数 ||f ||Lipα、α のみに依存する定数 cα について、 ‖ f ‖ A ≤ c α ‖ f ‖ L i p α , {\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},} ‖ f ‖ K := ∑ n = − ∞ + ∞ | n | | f ^ ( n ) | 2 ≤ c α ‖ f ‖ L i p α 2 , {\displaystyle \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2},} が成り立つ。また ||f ||K はクレイン代数におけるノルムである。条件にあった 1/2 が基本的な役割を果たしていることに注意する。1/2 ヘルダー関数はウィーナー代数に属さないのである。またこの定理は、よく知られている α-ヘルダー関数のフーリエ係数の大きさの上限、O(1/nα) を改良することはできず、このときフーリエ級数は総和可能ではない。 f が有界変動関数でありかつある α > 0 について α-ヘルダークラスに属するなら、関数 f はウィーナー代数に属する。
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