等速円運動とは？わかりやすく解説

円運動 （えんうんどう、（英: circular motion）は軌道が円を描く物体の運動である^[1]。

軌道

定義より、円運動の軌道は正円である^[1]。

円の中心を原点 ${\\displaystyle O}$

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回転運動を回転面上の観測者が真横から見ると物体は単振動しているように見える。あるいは、物体のｘ座標とｙ座標は互いに位相が90度=π/２ずれた単振動を行っている。

脚注

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注釈

出典

1 2 3 4 円運動円周上を ... 運動する質点を考え ... 円の中心を原点にとり，円周の面内に ${\\displaystyle x}$ 軸， ${\\displaystyle y}$ 軸をとり，質点の位置 ${\\displaystyle (x,y)}$ を ... 半径 ${\\displaystyle r}$ と角 ${\\displaystyle \\phi }$ で表わせば ${\\displaystyle x=r\\cos \\phi ,y=r\\sin \\phi ,x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ (戸田 1982, p. 57)
↑ 軌道の方程式 ... ${\\displaystyle x=a\\cos \\omega t,\\ y=b\\sin \\omega t}$ ならば ... 次式が得られる． ${\\displaystyle \\textstyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ （楕円（長円））(小出 1997, p. 2)
↑ 角 ${\\displaystyle \\phi }$ の時間変化の割り合い ${\\displaystyle \\textstyle {\\frac {d\\phi }{dt}}=\\omega }$ を角速度 (angular velocity) という．(戸田 1982, p. 57)
↑ 自動車の場合なら左へハンドルを切りながらアクセルを踏んでいる場合に相当する．... 方向の変化，つまりハンドル操作による加速度が ${\\displaystyle a_{n}}$ であって，それは軌道 (＝進行方向) に垂直で曲率の中心に向かう方向 (主法線方向) をもち，大きさは速さの 2 乗を曲率半径で割ったものに等しい． ${\\displaystyle \\textstyle a_{n}={\\frac {v^{2}}{R}}}$ (小出 1997, p. 10)
↑ 速度ベクトルの変化は ${\\displaystyle \\Delta {\\boldsymbol {v}}}$ ... 速度 ${\\displaystyle {\\boldsymbol {v}}}$ ... ${\\displaystyle \\Delta {\\boldsymbol {v}}}$ を ${\\displaystyle {\\boldsymbol {v}}}$ に平行な成分 ${\\displaystyle \\Delta v_{t}}$ と垂直な成分 ${\\displaystyle \\Delta v_{n}}$ に分け ... 加速度の接線成分が ${\\displaystyle \\textstyle a_{t}=\\lim _{\\Delta t\\rightarrow 0}{\\frac {\\Delta v_{t}}{\\Delta t}}=\\lim _{\\Delta t\\rightarrow 0}{\\frac {\\Delta v}{\\Delta t}}={\\frac {dv}{dt}}}$ ... 接線方向の ―つまりアクセルやブレーキによる― 加速度成分が得られる．(小出 1997, pp. 8–10)
↑ 軌道上の 2 点 ${\\displaystyle \\mathrm {P} ,\\ \\mathrm {P} '}$ が十分に近くとってあれば，軌道の微小部分 ${\\displaystyle \\mathrm {PP'} }$ を円の一部分とみなしてよい(小出 1997, p. 9)
↑ 自動車に乗っている場合を想定して，アクセルやブレーキとハンドルの操作に関連させて考えるとよいであろう．... 加速度の接線成分が ... アクセルやブレーキ ... 方向の変化，つまりハンドル操作による加速度が ... 進行方向 ... に垂直(小出 1997, pp. 9–10)
1 2 3 円周上を一定の速さで運動する質点 ... 等速円運動 (uniform circular motion) では ${\\displaystyle \\omega }$ が一定(戸田 1982, p. 57)
1 2 等速円運動 (uniform circular motion) では ${\\displaystyle \\omega }$ が一定なので ${\\displaystyle \\phi =\\omega t+\\phi _{0}}$ となる．これは円運動の位相であり， ${\\displaystyle \\phi _{0}}$ は位相定数である．位相定数は ${\\displaystyle t=0}$ における位相である．(戸田 1982, p. 57)
1 2 ${\\displaystyle x=a\\cos \\omega t,\\ y=a\\sin \\omega t}$ ... この場合の速度ベクトルの成分は ... ${\\displaystyle v_{x}=-a\\omega \\sin \\omega t,v_{y}=a\\omega \\cos \\omega t}$ ... 等速円運動となり，速さは ${\\displaystyle v=a\\omega }$ , 速度の方向は円の接線の方向と一致する ... 加速度 ... ${\\displaystyle a_{x}=-a\\omega ^{2}\\cos \\omega t=-\\omega ^{2}x,\\ a_{y}=-a\\omega ^{2}\\sin \\omega t=-\\omega ^{2}y}$ ... ${\\displaystyle {\\boldsymbol {a}}=-\\omega ^{2}{\\boldsymbol {r}}}$ となり，加速度は常に円の中心に向かい、大きさは半径の ${\\displaystyle \\omega ^{2}}$ 倍(小出 1997, pp. 7–9)
1 2 等速円運動では ... ${\\displaystyle x=r\\cos(\\omega t+\\phi _{0}),y=r\\sin(\\omega t+\\phi _{0})}$ ... である．... 加速度 ... も，中心に向かう加速度 ${\\displaystyle \\alpha }$ の ${\\displaystyle x}$ 成分 ${\\displaystyle \\alpha _{x}}$ と ${\\displaystyle y}$ 成分 ${\\displaystyle \\alpha _{y}}$ は ${\\displaystyle \\textstyle \\alpha _{x}={\\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\\alpha \\cos \\phi }$ ... ${\\displaystyle \\textstyle \\alpha _{y}={\\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\\alpha \\sin \\phi }$ ... ただし ${\\displaystyle \\alpha =-\\omega ^{2}r}$ ... ${\\displaystyle \\alpha }$ を向心加速度という．... 速さは ${\\displaystyle \\textstyle v={\\frac {2\\pi r}{T}}=\\omega r}$ ... である．これを用いると，向心加速度と向心力は... となる． ${\\displaystyle \\textstyle \\alpha =-{\\frac {v^{2}}{r}},\\ f=-{\\frac {mv^{2}}{r}}}$ (戸田 1982, pp. 58–60)
↑ 円運動の周期 ${\\displaystyle T}$ は 1 周の角 ${\\displaystyle 2\\pi }$ をまわる時間なので ${\\displaystyle \\textstyle T={\\frac {2\\pi }{\\omega }}}$ ... で与えられる．(戸田 1982, pp. 57–58)
1 2 質点の質量を ${\\displaystyle m}$ とすれば ... 力は， ${\\displaystyle x}$ 方向と ${\\displaystyle y}$ 方向にそれぞれ ... ${\\displaystyle f_{x}=f\\cos \\phi ,f_{y}=f\\sin \\phi }$ ... ただし ${\\displaystyle f=-m\\omega ^{2}r}$ ... と書ける．これを見ると，円運動をさせる力は円の中心 ${\\displaystyle O}$ に向き，その大きさが ${\\displaystyle \\left|{\\boldsymbol {f}}\\right|=m\\omega ^{2}r}$ の力 ... であることがわかる．この力を向心力 (centripetal force) という．(戸田 1982, p. 58)
↑ 質量 ${\\displaystyle m}$ の質点が半径 ${\\displaystyle a}$ の円周上を一定角速度 ${\\displaystyle \\omega }$ で等速円運動しているときには，円の中心に向かって大きさが ${\\displaystyle ma\\omega ^{2}}$ の力がはたらいている．この力を求心力または向心力という．この場合の速さは ${\\displaystyle v=a\\omega }$ であるから，求心力は ${\\displaystyle mv^{2}/a}$ とも表せる．(小出 1997, p. 12)

参考文献

戸田, 盛和『力学』岩波書店〈物理入門コース〉、1982年。ISBN 4-00-007641-8。
小出, 昭一郎『物理学（三訂版）』（58版）裳華房、1997年。 ISBN 978-4-7853-2074-4。

等速円運動とは？わかりやすく解説

とうそく‐えんうんどう〔‐ヱンウンドウ〕【等速円運動】

円運動

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等速円運動

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