フーリエ変換との関連
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 06:10 UTC 版)
「ハンケル変換」の記事における「フーリエ変換との関連」の解説
零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。 動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。 F ( k ) = 1 2 π ∬ f ( r ) e − i k ⋅ r d r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d\mathbf {r} .} ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。 F ( k ) = 1 2 π ∫ r = 0 ∞ ∫ θ = 0 2 π f ( r , θ ) e − i k r cos ( θ ) r d r d θ {\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,dr\,d\theta } ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。 F ( k ) = F ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J 0 ( k r ) r d r {\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\,dr} これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。
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