係数行列が非対称行列の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「係数行列が非対称行列の場合」の解説
質量行列 M（式2.2）、減衰行列 C（式2.3）、あるいは剛性行列 K （式2.4）が正定値の条件を満たさない場合、すなわち実対称行列ではなく、非対称行列であるとき、その系では不安定振動が起こることがある。このような条件では、式4.6で表される特性方程式の固有値 λ に、実部が正の固有値が含まれることがありえる。固有値に実部を正とする複素数が含まれるとき、時間とともに振幅が大きくなっていく振動が起こる。このようなメカニズムは、自励振動が起こりえる系で平衡点から振動が成長するか否かを考察する上で基礎となる。自励振動は1自由度系でも起きる現象だが、係数行列が非対称であることによって引きこされる種類の自励振動は、多自由度系特有のものである。 例として、次のような2自由度不減衰系を考える。 ( m 1 0 0 m 2 ) ( x ¨ 1 x ¨ 2 ) + ( k 11 k 12 k 21 k 22 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}\\k_{21}&k_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}} (7.1) ただし、k12 ≠ k21 で、剛性行列は非対称行列である。さらに、k12 と k21 のどちらかが正でどちらかが負であるような異符号の関係にあるとき、固有値は λ = ± λ r ± i λ i {\displaystyle \lambda =\pm \lambda _{r}\pm i\lambda _{i}} (7.2) という形の複素数となる。λr とλi は λ r = 1 2 − ω t r + ω t r 2 − ω d i f f 2 − 4 ω s k {\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-\omega _{tr}+{\sqrt {\omega _{tr}^{2}-\omega _{diff}^{2}-4\omega _{sk}}}}}} (7.3) λ i = 1 2 ω t r + ω t r 2 − ω d i f f 2 − 4 ω s k {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\omega _{tr}+{\sqrt {\omega _{tr}^{2}-\omega _{diff}^{2}-4\omega _{sk}}}}}} (7.4) で与えられ、ここで、ωtr = k11/m1 + k22/m2, ωdiff = k11/m1 − k22/m2, ωsk = (k12/m1)(k21/m2) である。λr は発散率と呼ばれ、自励振動の強さを表す。 このような係数行列の非対称性によって起きる自励振動の事例は機械振動の中で多く見られ、クーロン摩擦による摩擦振動や滑り軸受で起こるオイルホイップなどがある。
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