係数拡大

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係数環の変更

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/02 09:37 UTC 版)

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代数学において，環準同型 f: R → S が与えられると，加群の係数環を変更する3つの方法がある；すなわち，右 R-加群 M と右 S-加群 N に対し，

• $f_{!}M=M\otimes _{R}S$ この節には内容がありません。 加筆して下さる協力者を求めています。 (November 2015)

  係数拡大と係数制限の関係

  R 加群 M と S 加群 N を考える．準同型 $u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N)$, ただし N は係数制限によって R 加群と見なす，が与えられたとき，Fu: _SM → N を合成

  $_{S}M=S\otimes _{R}M{\xrightarrow {{\text{id}}_{S}\otimes u}}S\otimes _{R}N\to N$,

  と定義する，ただし最後の写像は $s\otimes n\mapsto sn$ である．この Fu は S 準同型であり，したがって $F\colon {\text{Hom}}_{R}(M,N)\to {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ は well-defined で，（アーベル群の）準同型である．

  R と S がともに単位元を持つとき，逆写像 $G:{\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ があり，それは以下のように定義される．$v\in {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ とする．すると Gv は合成

  $M\to R\otimes _{R}M{\xrightarrow {f\otimes {\text{id}}_{M}}}S\otimes _{R}M{\xrightarrow {v}}N$

  である，ただし最初の写像は標準的な同型 $m\mapsto 1\otimes m$ である．

  この構成は群 ${\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)$ と ${\text{Hom}}_{R}(M,N)$ が同型であることを示している．実はこの同型は準同型 f のみに依っており，したがって関手的である．圏論のことばでは，係数拡大関手は係数制限関手の左随伴である．

  関連項目

  • Six operations
  • 体のテンソル積

  参考文献

  • J.P. May, Notes on Tor and Ext
  • NICOLAS BOURBAKI. Algebra I, Chapter II. LINEAR ALGEBRA.§5. Extension of the ring of scalars;§7. Vector spaces. 1974 by Hermann.

  関連文献

  • http://mathoverflow.net/questions/1534/induction-and-coinduction-of-representations

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係数拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 10:05 UTC 版)

「テンソル積」の記事における「係数拡大」の解説

詳細は「係数拡大」を参照 K 上のベクトル空間 V と、K の拡大体 L をとれば、L を K-ベクトル空間と見てのテンソル積 V L := V ⊗ K L が定義できて、L の作用を λ ( v ⊗ μ ) := v ⊗ ( λ μ ) ( v ∈ V , λ , μ ∈ L ) で定めると、VL は L 上のベクトル空間になる。ベクトル空間 VL の L 上の次元は V の K 上の次元に等しい。これは V の K 上の基底 B に対して、集合 { b ⊗ 1 ∣ b ∈ B } が VL の L 上の基底を与えることから分かる。