係数環が整域の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 05:19 UTC 版)
整域R が体 K に含まれるとし、f を n 次、g を m 次 の R 係数多項式とする： f ( x ) = f n x n + f n − 1 x n − 1 + ⋯ + f 1 x + f 0 {\displaystyle f(x)=f_{n}x^{n}+f_{n-1}x^{n-1}+\cdots +f_{1}x+f_{0}} , g ( x ) = g m x m + g m − 1 x m − 1 + ⋯ g 1 x + g 0 {\displaystyle g(x)=g_{m}x^{m}+g_{m-1}x^{m-1}+\cdots g_{1}x+g_{0}} f, g は K の代数的閉包上で f = f m ∏ i = 1 n ( x − α i ) {\displaystyle f=f_{m}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(x-\alpha _{i})} g = g n ∏ j = 1 m ( x − β j ) {\displaystyle g=g_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{m}(x-\beta _{j})} と因数分解され、終結式 Res ( f , g ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)} が定義できる。
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