フロベニウス相互律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/18 04:29 UTC 版)
詳細は「フロベニウス相互律（フランス語版）」を参照 群環の構造を用いるよい例としてフロベニウス相互律を挙げられる。これは G-加群の誘導表現（英語版）を構成する方法とも理解される。有限群 G の部分群 H と K[H]-加群 W に対して、W から誘導される G-加群とは V ≃ K [ G ] ⊗ K [ H ] W {\displaystyle V\simeq K[G]\otimes _{K[H]}W} のことを言う（⊗K[H] は K[H]-加群としてのテンソル積である）。この誘導表現は、H-加群 W の（環 K[H] から K[G] への）係数拡大に対応する。H が G の正規部分群のときは、この誘導表現は H による半直積に同値である。 フロベニウス相互律は、誘導表現の指標に関する内積を計算するための便法を与える。ψ を H の表現 θ としての H-加群 W の指標とし、χ を G の表現 ρ の指標とする。ψ の G への誘導表現の指標を Ind ψ、ρ の H への制限の指標を Res χ とすれば、フロベニウス相互律とは ⟨ Ind H G ψ ∣ χ ⟩ G = ⟨ ψ ∣ Res H G χ ⟩ H {\displaystyle \langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi \mid \chi \rangle _{G}=\langle \psi \mid \operatorname {Res} _{H}^{G}\chi \rangle _{H}} なる関係が成り立つことを主張するものである。これはそれぞれの付随する K-多元環準同型の空間の同型 HomG(Ind θ, ρ) ≅ HomH(θ, Res ρ) を構成することで（次元を見れば）示される。
※この「フロベニウス相互律」の解説は、「群環」の解説の一部です。
「フロベニウス相互律」を含む「群環」の記事については、「群環」の概要を参照ください。
- フロベニウス相互律のページへのリンク
