誘導表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:18 UTC 版)
詳細は「誘導表現（英語版）」を参照 有限群 G の部分群 H を取り、剰余類分解の完全代表系 t1, …, tm をひとつ固定する。 G = t 1 H ⨿ ⋯ ⨿ t m H . {\displaystyle G=t_{1}H\amalg \dotsb \amalg t_{m}H.} 体 F 上の表現 T: H → GLn(F) の誘導表現（英語版） TG: G → GLnm(F) とは次で定義される群 G の表現のことである。 T ( g ) = [ T ( t i − 1 g t j ) ] 1 ≤ i , j ≤ m {\displaystyle T(g)={\begin{bmatrix}T(t_{i}^{-1}gt_{j})\end{bmatrix}}_{1\leq i,j\leq m}} ただし x ∉ H {\displaystyle x\not \in H} のときは T(x) = 0 とする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。 誘導表現 TG の次数は表現 T の次数の |G : H| 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 G の正則表現を与える。 部分群 H の表現加群を U としたとき誘導表現から定まる群 G の表現加群のことを誘導加群といい、UG, U↑G あるいは IndGH U で表す。代数のテンソル積を使って UG = U ⊗FHFG と定義しても同型な表現加群が定義できる。
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誘導表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 02:26 UTC 版)
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を標数 0 の体上の有限次元リー代数とし、 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} を部分代数とする。 U ( h ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}})} は U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 上へ右から作用しているとすると、任意の h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} -加群 W に対し、左 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} -加群 U ( g ) ⊗ U ( h ) W {\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W} を構成することができ、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群として Ind h g W {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W} と書かれ、W により誘導された g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群という。この表現は、以下のような普遍的な性質を持ち、実際、この普遍的性質により特徴付けることもできる。任意の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 E に対し、 Hom g ( Ind h g W , E ) ≃ Hom h ( W , Res h g E ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)} である。さらに、 Ind h g {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}} が h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} -加群の圏から g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群の圏への完全函手である。これらは U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} が U ( h ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}})} 上の自由右加群である。特に、 Ind h g W {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W} が単純であれば（絶対単純であれば）、W はそれぞれ、単純（絶対単純）である。ここで、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 V が絶対単純とは、 V ⊗ k F {\displaystyle V\otimes _{k}F} が任意の体の拡大 F / k {\displaystyle F/k} に対し単純である場合をいう。 誘導が推移的である場合、任意のリー部分代数 h ′ ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}} と任意のリー代数 h ⊂ h ′ {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'} に対し、 Ind h g ≃ Ind h ′ g ∘ Ind h h ′ {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}} である。誘導表現は、制限と可換である。 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} を部分代数、 n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} を h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} に含まれる g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のイデアルとする。 g 1 = g / n {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}} とし、 h 1 = h / n {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}} とすると、 Ind h g ∘ Res h ≃ Res g ∘ Ind h 1 g 1 {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}} である。
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