球主系列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/26 00:41 UTC 版)
「球函数に対するプランシュレルの定理」の記事における「球主系列」の解説
「主系列表現」も参照 球函数 φλ は G の球主系列の行列要素と同一視することができる。M が K における A の中心化群のとき、これは MAN の A の上への準同型と指標 λ との合成によって与えられる B = MAN の指標から誘導される G のユニタリ表現 πλ として定義される。この誘導表現は、G 上の函数 f で f ( g b ) = Δ ( b ) 1 / 2 λ ( b ) f ( g ) ( b ∈ B ) {\displaystyle f(gb)=\Delta (b)^{1/2}\lambda (b)f(g)\quad (b\in B)} を満たすものに対し、 π ( g ) f ( x ) = f ( g − 1 x ) {\displaystyle \pi (g)f(x)=f(g^{-1}x)} で作用が定義されるものである。ただし、 ‖ f ‖ 2 = ∫ K | f ( k ) | 2 d k < ∞ {\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{K}|f(k)|^{2}\,dk<\infty } とする。このような函数 f は L2(K / M) に属する函数と同一視され、指標は χ λ ( g ) = ( π ( g ) 1 , 1 ) {\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=(\pi (g)1,1)} となる。 Kostant (1969) の示すところによれば、球主系列表現は既約で、そのような二つの表現 πλ, πμ がユニタリ同値となることと、A のワイル群の適当な元 σ に対して μ = σ(λ) となることとが同値になる。
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