球ハンケル関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:20 UTC 版)
球ベッセル微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える表式には、球ハンケル関数hα(1)(x) と hα(2)(x)があり、定義式は以下の通り。 h α ( 1 ) ( x ) = j α ( x ) + i y α ( x ) = π 2 x H n + 1 / 2 ( 1 ) ( x ) {\displaystyle h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{n+1/2}^{(1)}(x)} h α ( 2 ) ( x ) = j α ( x ) − i y α ( x ) = π 2 x H n + 1 / 2 ( 2 ) ( x ) {\displaystyle h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{n+1/2}^{(2)}(x)} ここで、 i {\displaystyle i} は虚数単位である。 また、非負の整数 n について: h n ( 1 ) ( x ) = ( − i ) n + 1 e i x x ∑ m = 0 n i m m ! ( 2 x ) m ( n + m ) ! ( n − m ) ! {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}} h n ( 2 ) {\displaystyle h_{n}^{(2)}} は、実数xに関して h n ( 1 ) ( x ) {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)} の複素共役となる。 量子力学では、3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル外部の動径方向の解は、球ハンケル関数で表される。第一種球ハンケル関数は外向き、第二種球ハンケル関数は内向きを表す。
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