形式解の提示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/21 09:15 UTC 版)
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。 T = ∑ n , n ′ T n n ′ {\displaystyle T=\,\sum _{n,n'}T_{nn'}} 分解されたTnn'は、 T n n ′ = t n δ n n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n T m n ′ {\displaystyle T_{nn'}=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}T_{mn'}} となる。G0は自由電子のグリーン関数とする（ G ~ → G 0 {\displaystyle {\tilde {G}}\to G_{0}} ）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。Tnn'は更に、 T n n ′ = t n δ n n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n ( t m δ m n ′ + t m G 0 ∑ p ≠ m T p n ′ ) = t n δ n n ′ + t n G 0 t n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n t m G 0 t n ′ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}T_{nn'}&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}(t_{m}\delta _{mn'}+t_{m}G_{0}\sum _{p\neq m}T_{pn'})\\&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}t_{n'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}t_{m}G_{0}t_{n'}+\cdots \end{aligned}}} となる。Tnn'はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方Tnは、 T n = ∑ n ′ T n n ′ {\displaystyle T_{n}=\,\sum _{n'}T_{nn'}} であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、Tnn'の形式解は（但し、ここでr→kへのフーリエ変換及び、角運動量表示を導入している）、 T n n ′ L L ′ ( κ ) = τ n l ( κ ) [ δ n n ′ L L ′ + ∑ n 1 , L 1 B n n 1 L L 1 ( κ ) ⋅ T n 1 n ′ L 1 L ′ ( κ ) ] {\displaystyle T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\tau _{n}^{l}(\kappa )\left[\delta _{nn'}^{LL'}+\sum _{n_{1},L_{1}}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )\cdot T_{{n_{1}}n'}^{{L_{1}}L'}(\kappa )\right]} T n n ′ ( k , k ′ ) = ( 4 π ) 2 ∑ L , L ′ Y L ( k ) T n n ′ L L ′ ( k , k ′ ) Y L ′ ( k ′ ) {\displaystyle T_{nn'}(\mathbf {k} ,\mathbf {k'} )=(4\pi )^{2}\sum _{L,L'}Y_{L}(\mathbf {k} )T_{nn'}^{LL'}(k,k')Y_{L'}(\mathbf {k'} )} ： 角運動量表示 となる（形式解導出の詳細は省略）。 B n n 1 L L 1 {\displaystyle B_{nn_{1}}^{LL_{1}}} は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。 κ = k = E {\displaystyle \kappa =k={\sqrt {E}}} であり。L,L',lなどは軌道角運動量に関しての指標である。τn(κ)はt行列tnに相当する。ここで構造定数は具体的には、 B n n 1 L L 1 ( κ ) = − [ 4 π i κ ∑ L 1 i l − l ′ − l 1 C L L ′ L 1 Y L 1 ( R n − R n ′ ) h l + ( κ | R n − R n ′ | ) ] ( 1 − δ n n ′ ) C L L ′ L 1 = ∫ Y L ( q ) Y L ′ ( q ) Y L 1 ( q ) d Ω q {\displaystyle {\begin{aligned}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )&=-\left[4\pi i\kappa \sum _{L_{1}}i^{l-l'-l_{1}}C_{LL'L_{1}}Y_{L_{1}}(\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'})h_{l}^{+}(\kappa |\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'}|)\right](1-\delta _{nn'})\\C_{LL'L_{1}}&=\int Y_{L}(\mathbf {q} )Y_{L'}(\mathbf {q} )Y_{L_{1}}(\mathbf {q} )\,d\Omega _{q}\end{aligned}}} となる。 h l + {\displaystyle h_{l}^{+}} は球ハンケル関数、YLは球面調和関数である。尚、形式解は次のようにも表される。 T n n ′ L L ′ ( κ ) = { [ τ − 1 ( κ ) − B ( κ ) ] − 1 } n n ′ L L ′ {\displaystyle T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\{[\tau ^{-1}(\kappa )-B(\kappa )]^{-1}\}_{nn'}^{LL'}} この形式解から、状態密度をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を T n n ′ L L ′ ( κ ) = T ( κ ) {\displaystyle T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=T(\kappa )} と略して表示。 D ( E ) − D 0 ( E ) = 2 N π I m T r d d E ln [ T ( κ ) ] = − 2 N π I m T r d d E ln [ τ − 1 − B ( κ ) ] = − 2 N π I m T r [ T ( κ ) ( d τ − 1 d E − d B ( κ ) d E ) ] = − 2 N π I m ∑ n , L ∑ n 1 , L 1 T n n 1 L L 1 [ δ n 1 n L 1 L d ( τ n l ( κ ) ) − 1 d E − d d E B n 1 n L 1 L ( κ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}D(E)-D_{0}(E)&={\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[T(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[\tau ^{-1}-B(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} \left[T(\kappa )\left({\frac {d\tau ^{-1}}{dE}}-{\frac {dB(\kappa )}{dE}}\right)\right]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im} \sum _{n,L}\sum _{n_{1},L_{1}}T_{nn_{1}}^{LL_{1}}\left[\delta _{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}{\frac {d(\tau _{n}^{l}(\kappa ))^{-1}}{dE}}-{\frac {d}{dE}}B_{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}(\kappa )\right]\end{aligned}}} ここで、係数2はスピンの縮重度、Nは全サイト数、Imは虚数部分、Trはトレース（跡）を取ることを意味する。D0(E)は自由電子の状態密度。
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