フロベニウス写像の不動点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「フロベニウス写像の不動点」の解説
有限体 Fp を考える。フェルマーの小定理により、Fp のすべての元 x は、xp = x を満たす。同じことだが、多項式 Xp − X の根である。したがって、Fp の元は、この多項式の p 個の根を決定し、この多項式は次数 p なので、どんなに体を拡大しても p 個よりも多くの根を持つことはない。特に、K が Fp の代数拡大（代数的閉包、または他の有限体のような）であれば、 K のフロベニウス写像に関する不変体は Fp である。 R を標数 p > 0 の環とする。R が整域であれば、同じ理由でフロベニウス写像の不動点は素体の元である。しかしながら、R が整域でないと、Xp − X は p 個よりも多い根を持つかもしれない。たとえば、R = Fp × Fp のとき、このようなことが起きる。 同様の性質を有限体 F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} も持つ。 F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} のすべての元は、多項式 X p e − X {\displaystyle X^{p^{e}}-X} の根であるので、K が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の代数拡大であれば、F を K のフロベニウス写像としたとき、 K の Fe に関する不変体は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} である。R が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} -代数であるような整域であれば、フロベニウス写像の e 乗の固定点は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の像の元である。 フロベニウス写像の繰り返しは、R の元の列 x , x p , x p 2 , x p 3 , … {\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\dotsc } をもたらす。この繰り返しの列は、フロベニウス閉包（英語版）(Frobenius closure)やイデアルの密着閉包(tight closure)の定義に使われる。
※この「フロベニウス写像の不動点」の解説は、「フロベニウス自己準同型」の解説の一部です。
「フロベニウス写像の不動点」を含む「フロベニウス自己準同型」の記事については、「フロベニウス自己準同型」の概要を参照ください。
- フロベニウス写像の不動点のページへのリンク
