2自由度系の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「2自由度系の例」の解説
建築物の例では、複数の階を持つ多層構造物が多自由度系の問題となる。柱と床から構成されるラーメン構造の建物が振動する場合を考える。柱は床に比べて柔らかいので、構造物が揺れるとき各階の床は水平方向に揺れ、柱は水平方向のばねとして働くと見なせる。これは、水平方向のみに動く2つの質点をばねで連結した2自由度系モデルと等価となる。2層構造物における、1層目の床質量を m1、2層目の床質量を m2、1層目の水平変位を x1、2層目の水平変位を x2、基礎と1層目の間の等価ばね定数を k1、1層目と2層目の間の等価ばね定数を k2 とすると、このモデルの運動方程式は { m 1 x ¨ 1 + ( k 1 + k 2 ) x 1 − k 2 x 2 = 0 m 2 x ¨ 2 − k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}-k_{2}x_{1}+k_{2}x_{2}=0\end{cases}}} (2.5) となる。行列表示すれば、 ( m 1 0 0 m 2 ) ( x ¨ 1 x ¨ 2 ) + ( k 1 + k 2 − k 2 − k 2 k 2 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}} (2.6) となり、この式では、 ( m 1 0 0 m 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}} が質量行列、 ( k 1 + k 2 − k 2 − k 2 k 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}\end{pmatrix}}} が剛性行列である。 並進運動と回転運動が組み合わさった2自由度系の例として、自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルがある。自動車を側面から見て、上下方向変位とピッチング回転だけの動きを考える。前位側のタイヤとサスペンションを1つのばねと見なして、後位側のタイヤとサスペンションも同様に1つのばねと見なし、剛体を前位と後位を2つのばねが支えているモデルを考える。前位側と後位側のばねのばね定数をそれぞれ k1、k2 とする。剛体の重心位置から前位側のばねまでの距離を l1、前位側のばねまでの距離を l2 とする。剛体の質量を m、重心位置周りのピッチング方向の慣性モーメントを IG とする。この剛体の重心の上下運動 x とその周りのピッチング運動 θ の運動方程式は次のようになる。 { m x ¨ + ( k 1 + k 2 ) x + ( k 2 l 2 − k 1 l 1 ) θ = 0 I G θ ¨ + ( k 2 l 2 − k 1 l 1 ) x + ( k 2 l 2 2 + k 1 l 1 2 ) θ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}m{\ddot {x}}+(k_{1}+k_{2})x+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})\theta =0\\I_{G}{\ddot {\theta }}+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})x+(k_{2}l_{2}^{2}+k_{1}l_{1}^{2})\theta =0\end{cases}}} (2.7)
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