開球体

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球体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/06 10:21 UTC 版)

数学における球体（きゅうたい、英: ball）は、球面の内側の空間全体を言う。

境界点の全体である球面を全く含む球体を閉球体（へいきゅうたい、英: closed ball）といい、全く含まない球体を開球体（かいきゅうたい、英: open ball）という。

概要

ユークリッド空間では球体は球面に囲まれた領域からなる立体である。

球体の概念は、三次元ユークリッド空間のみならず、より低次または高次の空間、あるいはより一般の距離空間においても定義することができる。n-次元の球体は n-次元（超）球体（あるいは短く n-球体）と呼ばれ、その境界は(n−1)-次元（超）球面（あるいは短く (n−1)-球面）と呼ばれる。

例えばユークリッド平面における球体は円板のことであり、それを囲む境界は円周である。また、三次元ユークリッド空間における球体（通常の球体）は二次元球面（通常の球面）によって囲まれる体積を占める。

ユークリッド幾何学などの文脈において、球体 (ball) の意味でしばしば略式的に球 (sphere) と呼ぶ場合がある（球が球面の意である場合もある）。

ユークリッド空間における球体

n-次元ユークリッド空間において、中心 x, 半径 r の開球体とは、x からの距離が r 未満（「距離」< r）であるような点全体の成す集合を言う。閉球体は x からの距離が r 以下（「距離」≤ r）であるような点全体の成す集合である。

n-次元ユークリッド空間において任意の球体は超球面の内側（超球体）であり、特に n = 1 のときは有界な区間、n = 2 のときは円の囲む内側である円板、n = 3 のとき通常の球面の囲む内側である。

体積

n-次元ユークリッド空間における、半径 R の n-次元ユークリッド超球体の n-次元超体積は

$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}$

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球体

• 球: 日常的な意味で
• 円板
• 虚球: 負の半径を許す
• 近傍 (位相空間論)
• 三次元球面
• 超球面（高次元球面）
• アレクサンダーの角付き球面
• 多様体
• 超球体の体積

参考文献

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Ball". mathworld.wolfram.com (英語).
• ball [3] - PlanetMath.（英語）