球体

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球体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/16 02:23 UTC 版)

この項目では、数学における球体について説明しています。 日常的な意味での球体については「球」をご覧ください。 MUCCのアルバムについては「球体 (MUCCのアルバム)」をご覧ください。 三浦大知のアルバムについては「球体 (三浦大知のアルバム)」をご覧ください。

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ユークリッド空間ではボールは球に包まれた体積である。

数学における球体（きゅうたい、英: ball）は球面の内側の空間全体を言う。それが境界点の全体である球面を全く含むとき閉球体（へいきゅうたい、英: closed ball）、全く含まないとき開球体（かいきゅうたい、英: open ball）と呼ばれる。

これらの概念は三次元ユークリッド空間のみならず、より低次または高次の空間、あるいはより一般の距離空間において定義することができる。n-次元の球体は n-次元（超）球体（あるいは短く n-球体）と呼ばれ、その境界は(n−1)-次元（超）球面（あるいは短く (n−1)-球面）と呼ばれる。例えばユークリッド平面における球体は円板のことであり、それを囲む境界は円周である。また、三次元ユークリッド空間における球体（通常の球体）は二次元球面（通常の球面）によって囲まれる体積を占める。

ユークリッド幾何学などの文脈において、球体 (ball) の意味でしばしば略式的に球 (sphere) と呼ぶ場合がある（球が球面の意である場合もある）。

ユークリッド空間における球体

n-次元ユークリッド空間において、中心 x, 半径 r の開球体とは、x からの距離が r 未満（「距離」< r）であるような点全体の成す集合を言う。閉球体は x からの距離が r 以下（「距離」≤ r）であるような点全体の成す集合である。

n-次元ユークリッド空間において任意の球体は超球面の内側（超球体）であり、特に n = 1 のときは有界区間 (数学)、n = 2 のときは円の囲む内側である円板、n = 3 のとき通常の球面の囲む内側である。

体積

詳細は「超球体の体積」を参照

n-次元ユークリッド空間における、半径 R の n-次元ユークリッド超球体の n-次元超体積は

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}}$

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