位相的完備空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:16 UTC 版)
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。これは例えば、実数直線（これは完備）ℝ1 に同相な開区間 (0, 1) は完備でない。 位相空間論においては、位相空間に対して完備距離関数が誘導する位相がもともとの位相と一致するように取れるとき、その位相空間は完備距離化可能空間（英語版）と呼ぶ。完備距離化可能空間は、何らかの完備距離空間の開部分集合の可算個の交わりとして書くことのできる空間として特徴づけることができる。ベールの範疇定理の帰結は純位相的だから、これらの空間に対しても同様に定理が適用できる。 完備距離化可能空間はしばしば「位相的完備」(topologically complete) であると言われるが、位相的完備という言葉自体はもう少し広い意味合いで用いられる。実際、より広い位相空間のクラスである完備一様化可能空間（英語版）に対して位相的完備という言葉を用いる文献もある。 可分な完備距離空間に同相な位相空間はポーランド空間と呼ばれる。
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