位相的円板
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 07:51 UTC 版)
位相空間としての開円板と閉円板は同相でない（後者はコンパクトだが、前者はそうでない）。 しかし、代数的位相幾何学的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも可縮であり、ゆえ一点にホモトピー同値である。 従って、さらに、これらの基本群は自明であり、Z と同型な零次を除いて、全てのホモロジー群が自明である。一点のオイラー標数は 1 であるから、開および閉円板のそれもやはりともに 1 であることがわかる。 閉円板からそれ自身への任意の連続写像（全単射でなくてもよく、また全射であることすら仮定しない）は少なくとも一つの不動点を持つ。 この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。 例えば f ( x , y ) = ( x + 1 − y 2 2 , y ) {\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)} は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。
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