アレクサンダー多項式の幾何学的意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 00:56 UTC 版)
「アレクサンダー多項式」の記事における「アレクサンダー多項式の幾何学的意味」の解説
アレクサンダーイデアルは主イデアルであるから、ΔK(t) = 1 となるための必要十分条件は結び目群（結び目の補空間の基本群）の交換子部分群が完全群（つまりそのアーベル化が自明となる群）となることである。 位相的スライス（英語版）結び目については、そのアレクサンダー多項式はフォックス・ミルナー条件 Δ K ( t ) = f ( t ) f ( t − 1 ) {\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})} を満足する。ただし、f(t) は何か別の整係数ローラン多項式である。 結び目の種数の 2倍はアレクサンダー多項式の次数で下から抑えられる（アレクサンダー多項式の次数は種数の2倍を超えない）。 マイケル・フリードマンは三次元球面内の結び目が位相的スライス（英語版）であることを示した。つまり、結び目のアレクサンダー多項式が自明ならば、その結び目は 4次元球面に含まれる「局所平坦」な位相的円板で囲まれる (Freedman & Quinn 1990)。 Kauffman (1983) には、物理モデルから導出される状態和を通したアレクサンダー多項式の構成の最初の記述なされている。これらのトピックスと他の物理学との関連については、Kauffman (2001) にサーベイがある。 曲面と滑らかな四次元位相幾何との関係はほかにもある。例えば、ある種の仮定の下で、手術を施して滑らかな 4次元多様体を変形する方法がある。これは二次元トーラスの適当な近傍を取り除いて、その部分を S1 と交叉する結び目補空間で置き換えるものである。手術で得られた滑らかな四次元多様体はもともとの 4次元多様体と同相だが、サイバーグ・ウィッテン不変量は、結び目のアレクサンダー多項式を掛ける分だけ変化する。 対称性を持つ結び目はより限定的な形のアレクサンダー多項式を持つことが知られている（Kawauchi (1996) の symmetry 節を参照）が、アレクサンダー多項式からは強可逆性などのある種の対称性がわからないこともある。 結び目補空間が円周上でファイバー付くならば、その結び目のアレクサンダー多項式がモニック(monic)（つまり最高次と最低次の項の係数が ±1）であることが知られている。実は、CK を結び目 K の結び目補空間として S → CK → S1 がファイバー束となるならば、g: S → S がモノドロミーを表すものとして、ΔK(t) = det(tI − g∗) が成り立つ。ここで g∗: H1S → H1S は g がホモロジーの上に誘導する写像である。
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