滑らかな 4次元多様体とは? わかりやすく解説

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滑らかな 4次元多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/06/01 06:51 UTC 版)

4次元多様体」の記事における「滑らかな 4次元多様体」の解説

大きくとも次元 6 の多様体対し区分線形な (PL) 構造は、本質的に一つ方法滑らかにすることができ、従って、特に、4次元PL多様体英語版)(PL manifold)の理論は、4次元滑らかな多様体理論大半が同じである。 滑らかな 4次元多様体の理論主要な問題は、単純でコンパクトな多様体分類することである。位相多様体として知られていることは、以下の二つ部分分かれるどのような位相多様体滑らかか? 滑らかな多様体上の異な滑らかな構造分類せよ。 第一の問題のほぼ完全な答えがあり、単連結コンパクトな 4次元多様体滑らかな構造を持つ。第一にカービィ不変量は 0 であるはずである。 交叉形式有限で、ドナルドソンの定理(Donaldson 1983) は完全な答え与える。滑らかな構造存在することと、交叉形式対角化できることとは同値である。 交叉形式不定値で、奇であると、滑らかな構造存在する交叉形式不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(−1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば(従って次元少なくとも |符号| の 11/8 倍)、滑らかな構造存在し、n 個のK3曲面と m − 3n 個の S2×S2 のコピー連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n(従って次元多くとも |符号| の 10/8 倍である)とすると、古田幹雄滑らかな構造存在しないことを証明した(Furuta 2001)。このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答え未解決である。(上の状態をカバーしていない最小場合は、n = 2m = 5場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小格子は、格子 II7,55ランク62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば滑らかな構造存在しないではないかという予想である。 対照的に向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際単独の滑らかな 4次元多様体で、答え知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面英語版のような単連結コンパクトな 4次元多様体存在し可算無限個の異な滑らかな構造存在することを示したR4 上には非可算無限個の異な滑らかな構造存在するエキゾチック R4英語版)を参照。 フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術使い多く滑らかな多様体の上で、互いに異な大きな数の滑らかな構造どのように構成するかを示し任意の整数係数多項式インデックスとする)、サイバーグ・ウィッテン不変量使い滑らかな構造異なっていることを示した。これらの結果は、単連結コンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるという最もらしい予想はない(いくつかの早い段階予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された)。

※この「滑らかな 4次元多様体」の解説は、「4次元多様体」の解説の一部です。
「滑らかな 4次元多様体」を含む「4次元多様体」の記事については、「4次元多様体」の概要を参照ください。

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