4次元位相多様体とは? わかりやすく解説

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4次元位相多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/06/01 06:51 UTC 版)

4次元多様体」の記事における「4次元位相多様体」の解説

単連結コンパクトな 4次元多様体ホモトピー型は、中間次元ホモロジー上の交叉形式にのみ依存する。M. Freedman (1982)の有名な定理は、多様体同相タイプはこの交叉形式であるカービー・ジーベンマン不変量呼ばれる Z/2Z 不変量にのみ依存するという定理であり、さらに、ユニモジュラー形式英語版)とカービー・ジーベンマン不変量すべての結合を得るという定理である。ただし、形式偶数のときは、カービー・ジーベンマン不変量は (符号)/ 8 (mod 2) である。 例: 形式が 0 である特別な場合は、このことは 4次元位相多様体のポアンカレ予想意味する形式E8 であれば、この多様体E8多様体英語版)と呼びどのような単体複体とも同相でない多様体となる。 形式が Z であればカービー・ジーベンマン不変量依存する 2つ多様体存在する。ひとつは、2次元複素射影空間であり、もうひとつは、フェイク射影空間である。同じホモトピー型をもつが同相ではない(滑らかな構造もたない)。 形式ランク28 より大きいと、正定値ユミモジュラー形式の数(英語版)は、ランク急増加して始まるので、対応する単連結位相4次元多様体の数は非常に巨大となる(これらの大半はほぼ興味ないよう思える)。 フリードマン分類は、基本群が複雑過ぎない場合拡張することができる。たとえば、基本群が Z のとき、Z の群環上のエルミート形式を使う上の分類と同じ分類がある。基本群あまりに大きすぎると(たとえば、2つ生成子をもつ自由群)であると、フリードマンテクニックうまくいかず、そのような多様体についてはほとんど知られていない任意の群の有限表現対し、その群を基本群としてもつ(滑らかなコンパクトな 4次元多様体構成することは容易である。しかし、群の 2つ有限表現同型(たとえ自明であることが知られている場合でも)であるかどうかを知るアルゴリズム存在しないように、2つ4次元多様体が同じ基本群をもつかどうかを知るアルゴリズム存在しない。この理由は、4次元多様体に関する仕事大半単連結場合のみを考えているからである。多く問題一般的な場合は、扱いにくいことがすでに知られている。

※この「4次元位相多様体」の解説は、「4次元多様体」の解説の一部です。
「4次元位相多様体」を含む「4次元多様体」の記事については、「4次元多様体」の概要を参照ください。

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