性質と応用

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性質と応用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/29 04:13 UTC 版)

「交叉形式 (4次元多様体)」の記事における「性質と応用」の解説

ウーの公式（英語版）により、スピン構造を持つ4次元多様体は、偶の交叉形式、つまり、Q(x,x) はすべての x に対し偶数となる。単連結な 4次元多様体（あるいはより一般的に第一ホモロジー群に 2-torsion を持たないような多様体）に対して、逆が成り立つ。 交叉形式の符号は重要な不変量である。4次元多様体が 5次元多様体の境界となることと、交叉形式の符号が 0 であることとは同値である。ファン・デル・ブリージの補題（英語版）(Van der Blij's lemma)は、スピン 4次元多様体は 8 倍数の符号を持つことを意味している。実際、ロホリンの定理は、滑らかなコンパクトなスピン 4次元多様体は 16 の倍数の符号を持つという定値である。 マイケル・フリードマン(Michael Freedman)は、交叉形式を使い、単連結な位相 4次元多様体を分類した。整数上の任意のユニモジュラー対称双線型形式 Q が与えられると、整数係数の交叉形式 Q をもつ単連結な 4次元多様体 M が存在する。Q が偶であれば、一意にそのような多様体が存在する。Q が奇であれば、2つの（少なくともひとつの対）は滑らかな構造を持たない多様体が存在する。同じ交叉形式をもつ 2つの単連結な閉じた 4次元多様体は同相である。奇の場合には、2つの多様体は、カービー・ジーベンマン不変量により識別される。 ドナルドソンの定理は、正定値な交叉形式をもつ滑らかな単連結である 4次元多様体は、対角化可能な（スカラー 1）の交叉形式を持つという定理である。従って、フリードマンの分類は、滑らかでない 4次元多様体（例えば、E8多様体（英語版）(E8 manifold)が多数存在することを意味する。

性質と応用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/11 04:04 UTC 版)

「ディリクレエネルギー」の記事における「性質と応用」の解説

ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 u に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。 （適切な境界条件に対する）ラプラス方程式 を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 u を探す変分問題を解くことと同値である。 そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。

性質と応用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/23 15:42 UTC 版)

「チェザロ平均」の記事における「性質と応用」の解説

基本的な結果として、 lim n → ∞ a n = A ならば、 lim n → ∞ c n = A が成立することが挙げられる。すなわち、チェザロ平均をとる操作は、数列の収束性とその極限を保存する。 このことを基にすれば、発散級数論における総和法としてチェザロ平均を利用することができる。級数 ∑ an の部分和の列 (sn) から作ったチェザロ平均の列 (cn) が収束するならば、もとの級数 ∑ an はチェザロ総和可能 (Cesàro summable) であるという。 チェザロ平均の列は収束するのにもとの数列は収束しないという例は実にたくさん存在する。例えば a n = ( − 1 ) n で与えられる数列 (an) は振動するにもかかわらず、そのチェザロ平均の列は 0 を極限にもつ（グランディ級数 (en) も参照）。 チェザロ平均はしばしばフーリエ級数に対して用いられる。そのような級数の和としては部分和の各点収束極限を考えるよりもチェザロ平均（を三角多項式の対称部分和を作ったものに対して適用したもの）を考えるほうがより強力だからである。このとき、チェザロ和に対応する積分核はフェイェール核となる（各点収束の場合に対応するのはディリクレ核）。ディリクレ核が正負いずれの値もとるのに対し、フェイェール核は正値である。このことは、近似単位元の一般論に従えば、フーリエ級数の和に対するチェザロ平均の優位性を示している。 チェザロ平均の一般化のひとつはストルツ＝チェザロの定理である。 リース平均は、より強力だが実質的に同様の総和法としてマルツェル・リースによって導入された。