数列の収束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)
自然数の逆数の列 1, .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2, 1/3, …, 1/n, … を考えると、n を限りなく大きくしていくと一般項 1/n は限りなく 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} あるいは 1 n → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )} と書く。 カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {an} がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである（この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う）: ∀ ε > 0 , ∃ n 0 ∈ N s.t. ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⇒ | a n − α | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]} （どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 n0 を十分大きく定めれば、n0 より先の番号 n に対する an は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる） これを用いると、an = 1/n の極限値は 0 であることを以下のようにして示すことができる。 （証明）自然数は上に有界でない（アルキメデスの性質）から、 ∀ ε > 0 , ∃ n 0 ; ∀ n [ n > n 0 ⟹ n > 1 ε ] . {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].} 従って | 1 n − 0 | = 1 n < ε ( n > n 0 ) ⟺ lim n → ∞ 1 n = 0. □ {\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon \ (n>n_{0})\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.\;\;{\mbox{□}}}
※この「数列の収束」の解説は、「極限」の解説の一部です。
「数列の収束」を含む「極限」の記事については、「極限」の概要を参照ください。
数列の収束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 14:13 UTC 版)
「イプシロン-デルタ論法」の記事における「数列の収束」の解説
実数列 a1, a2, …, an, … の極限値が lim n → ∞ a n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=b} であるとは、n を大きくすれば an は b に限りなく近づくという意味であった。 これを有限値による論理式で定義すると ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | a n − b | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |a_{n}-b|<\varepsilon ]} となる。これは 任意の正の数 ε に対し、ある適当な自然数 N が存在し、N より大きい全ての自然数 n に対して |an − b| < ε が成り立つ、という意味である。この論理式は δ ではなく N を使うため ε-δ論法ではなく ε-N論法と呼ばれる。ε-N論法による数列の極限の定義の妥当性は次のようになる。 an が b にいくらでも近づくとは、有限値で表すと、任意の正の数 ε に対して an が b の ε近傍に属していくということになる。そこで、十分大きな N を取ると、N より大きい全ての番号 n に対し、an は b の ε近傍に入るということになる。ここで N は ε に依存する数である。 ε-δ論法では ε が小さくするにつれて δ を小さくとらなければならないが、ε-N論法では ε を小さくするにつれて N を大きくしなければならない。 例えば an = n + 1/n のとき N > 1/ε となるように N を取れば n > N という条件のもとで | n + 1 n − 1 | = 1 n < 1 N < ε {\displaystyle \left|{\frac {n+1}{n}}-1\right|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon } となるので ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | a n − 1 | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |a_{n}-1|<\varepsilon ]} が成り立ち、数列 an は 1 に収束することが ε-N論法による定義に基づき示される。
※この「数列の収束」の解説は、「イプシロン-デルタ論法」の解説の一部です。
「数列の収束」を含む「イプシロン-デルタ論法」の記事については、「イプシロン-デルタ論法」の概要を参照ください。
- 数列の収束のページへのリンク
