数列の発散
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)
数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく大きくなることを、数列 {an} は正の無限大に発散するといい、 lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } または a n → ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )} のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、 ∀ K > 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⟹ a n > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}} のように定式化される。 また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく小さくなることを、数列 {an} は負の無限大に発散するといい、 lim n → ∞ a n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty } または、 a n → − ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )} と表す。数列 {an} が負の無限大へ発散することは、各項 an を反数にした数列 {bn} (bn = −an, n = 1, 2, 3, …) が正の無限大に発散することと同値である。あるいは絶対値をとって得られる数列 が正の無限大に発散すると言っても同じである。イプシロン-エヌ論法では、 ∀ K < 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⟹ a n < K ] {\displaystyle \forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}} となる。 数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動するという。振動も発散の一種である。
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