数列の極限による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/25 10:23 UTC 版)
「ネイピア数の表現」の記事における「数列の極限による表現」の解説
ネイピア数 e はいくつかの無限数列の極限として表現できる。 I. スターリングの公式その1 e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 / n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}} II. スターリングの公式その2 e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} III. 上述の e の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限 e = lim n → ∞ [ ( n + 1 ) n + 1 n n − n n ( n − 1 ) n − 1 ] {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]} IV. 別の極限による例 e = lim n → ∞ ( p n # ) 1 / p n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}} ここで p n {\displaystyle p_{n}} は n 番目の素数、 p n # {\displaystyle p_{n}\#} は p n {\displaystyle p_{n}} の素数階乗 V. 極限による指数関数の一般形式 e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
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