性質と用法とは? わかりやすく解説

性質と用法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/17 14:34 UTC 版)

隆起函数」の記事における「性質と用法」の解説

隆起函数滑らかであるが、恒等的にでない限り解析的ではない。これは一致の定理簡単な帰結である。 隆起函数はしばし軟化子や、カットオフ函数として用いられたり、滑らかな1の分割構成するために用いられる。それらは、解析学において最もポピュラーテスト函数の族である。 隆起函数空間は、多く演算の下で閉じている例えば、二つ隆起函数の和、積あるいは畳み込みは再び隆起函数である。また滑らかな係数を持つ任意の微分作用素隆起函数適用される場合別の隆起函数構成される隆起函数フーリエ変換は(実)解析函数であり、複素平面全体拡張することが出来る。したがって、それはゼロでない限りコンパクトな台を持つことはない。実際整函数あるよう隆起函数ゼロ函数のみだからである(ペイリー=ウィーナーの定理英語版)を参照)。隆起函数無限回微分可能であるため、十分大きな角周波数 |k| に対してフーリエ変換 F(k) は 1/k の任意の有限のべきよりも必ず早く減衰する上述隆起函数 Ψ ( x ) = 1 { | x | < 1 } exp ⁡ ( − 1 1 − x 2 ) {\displaystyle \Psi (x)=1_{\{|x|<1\}}\exp \left({-{\frac {1}{1-x^{2}}}}\right)} のフーリエ変換は、鞍点法によって解析することが出来大きい |k| に対して漸近的に | k | − 3 / 4 exp ⁡ ( − | k | ) {\displaystyle |k|^{-3/4}\exp \left(-{\sqrt {|k|}}\right)} となるように減衰する

※この「性質と用法」の解説は、「隆起函数」の解説の一部です。
「性質と用法」を含む「隆起函数」の記事については、「隆起函数」の概要を参照ください。

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