性質と特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:25 UTC 版)
ホロノミック加群は、有限次元ベクトル空間のような振る舞いをする傾向を持っている。たとえば、それらの長さは有限である。さらに、M がホロノミックであることと、複体 Li∗(M) のすべてのコホモロジー群が、有限次元 K-ベクトル空間であることは同値である。ここに i は X の任意の点の閉埋め込み（英語版）である。 任意の D-加群 M に対し、双対加群は、 D ( M ) := R H o m ( M , D X ) ⊗ Ω X − 1 [ dim X ] {\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\mathrm {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\operatorname {dim} X]} により定義される。ホロノミック加群も、ホモロジーの条件により特徴付けることができる。M がホロノミックであることと、D(M) が次数 0 で縮小できる（D-加群の導来圏内の対象で分かるように）。この事実は、ヴェルディエ双対（英語版）(Verdier duality)やリーマン・ヒルベルト対応（英語版）に最初に見ることができる。このことは、正則環のホモロジカルな研究（特に、大局次元）を拡張することにより、フィルター化された環 DX へ拡張されることにより証明された。 他のホロノミック加群の特徴付けは、シンプレクティック幾何学を通してなされている。任意の D-加群 M の特性多様体 Ch(M) は、X の余接バンドル T∗X としてみると、包合（英語版）多様体である。加群がホロノミックであることと、Ch(M) がラグラジアン部分多様体であることは同値である。
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性質と特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:25 UTC 版)
以下では f: X → Y をスキームの射とする。 2つの固有射の合成は固有である。 固有射 f: X → Y の基底変換（英語版）は固有である。つまり、任意のスキームの射 g: Z → Y に対して、自然な射影 X ×Y Z → Z は固有である。 固有性は基底（のザリスキー位相）についての局所的性質（英語版）である。つまり、Y が開部分スキームの集合 Yi で被覆されており、f を f−1(Yi) に制限したものが全て固有ならば、f も固有である。 もっと強く、固有性は基底の fpqc 位相（英語版）に関して局所的な性質である。例えば、X を体 k 上のスキーム、E を k の拡大体とすると、X が k 上固有であることと基底変換 XE が E 上固有であることは同値である。 閉埋入（英語版）は固有である。 もっと一般に、有限射は固有である。これは上昇定理の帰結である。 スキームの射が有限であることと、固有かつ準有限（quasi-finite）であることは同値である（ドリーニュ）。射 f: X → Y が局所的に有限表示（英語版）のときは、これはグロタンディークによって証明されていた。この仮定は、Y がネータースキームなら他の前提条件から従う。 スキーム S 上固有な X と S 上分離的な Y に対して、S 上の任意の射 X → Y の像は Y の閉部分集合である。これは、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像の像は閉部分集合であるという、位相幾何学の定理の類似になっている。 （シュタイン分解（英語版）定理）f が局所ネータースキームへの固有射であれば、X → Z → Y と分解できる。ここで、X → Z は固有かつ全射かつ幾何的に連結なファイバーを持つ射で、Z → Y は有限射である。 （チャウの補題（英語版））固有射は射影的射（英語版）と密接に関係している。これの１つの定式化は次である。準コンパクトスキーム Y 上の固有スキーム X が有限個の既約成分だけを持つ（Y がネーターならば自動的に満たされている）なら、全射の射影的射 g: W → X で W が Y 上射影的なものが存在する。さらに、g が X の稠密な開部分集合 U の上で同型写像で、g−1(U) が W で稠密とすることができる。また、X が整なら W も整とすることができる。 （一般化された永田のコンパクト化定理（英語版））準コンパクトかつ準分離的（英語版）であるスキーム間の有限型分離射は、開埋入と固有射に分解できる（ドリーニュ）。 局所ネータースキーム間の固有射は層の連接性を保つ。すなわち、連接層 F の高次順像 Rif∗(F)（特に順像 f∗(F)）は連接層である。（グラウエルト（英語版）とレンメルト（英語版）は、複素解析空間の固有写像による高次順像は同様に層の解析的連接性を保つことを証明した。）これから、この定理の非常に単純な適用例として、体 k 上固有な スキーム X の正則関数のなす環は有限次元 k ベクトル空間であることが分かる。これは体 k 上のアフィン直線の正則関数のなす環は多項式環 k[x] であり、有限次元 k ベクトル空間ではないことと対照的である。 これは次のように少し一般化できる。 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} を有限型な射、S は局所的にネーター、 F {\displaystyle F} を O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群とする。F の台が S 上固有ならば、全ての i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} に対して高次順像 R i f ∗ F {\displaystyle R^{i}f_{*}F} は連接層である。 X を複素数体上の有限型スキームとすると、その複素数値点の集合 X(C) は複素解析空間になり、古典的な（ユークリッド）位相が入る。X と Y が C 上分離的かつ有限型ならば、C 上の射 f: X → Y が固有であることと、誘導された連続写像 f: X(C) → Y(C) が固有であること、すなわち任意のコンパクト集合の逆像がコンパクトになることは同値である。 射 f: X→Y と g: Y→Z の合成 gf が固有で g が分離的ならば、f は固有である。これは、例えば次節の判定法を使って容易に示すことができる。
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