正則環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/17 03:17 UTC 版)
可換環論において、正則環 (regular ring) は可換ネーター環であって任意の素イデアルにおける局所化が正則局所環であるようなものである。つまり、すべてのそのような局所化は、その極大イデアルの生成元の最小個数がクルル次元と等しいという性質をもつ。
Jean-Pierre Serre は正則環を大域ホモロジー次元が有限の可換ネーター環として定義し、これは上記の定義と同値であることを示す。正則環のクルル次元は大域ホモロジー次元と一致する。
正則環の例は（次元0である）体やデデキント整域を含む。A が正則であれば A[X] も正則であり、次元が1だけ増える。
正則環は被約である[1]が整域である必要はない。例えば、2つの正則整域の積は正則だが整域でない[2]。
非可換環
可換とは限らない環は、大域次元が有限で、polynomial growth をもっていて（GK次元が有限で）、ゴレンシュタイン環であるときに、正則と呼ばれる。
楕円代数 も参照のこと。
関連項目
- 幾何学的正則環
脚注
- ^ なぜならば、環が被約であることと素イデアルにおける局所化がすべて被約であることは同値であるから。
- ^ http://math.stackexchange.com/questions/18657/is-a-regular-ring-a-domain
参考文献
- Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
正則環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 09:24 UTC 版)
R をネーター環とする。有限 R-加群 M の射影次元は R の射影分解の最短の長さ（無限でもよい）であり、 pd R M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M} と表記される。 g l . d i m R = sup { pd R M ∣ M is a finite module } {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid M{\text{ is a finite module}}\}} とおく。これは R の大域次元と呼ばれる。 R は局所環で、その剰余体を k とする。 補題 ― pd R k = g l . d i m R {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R} （無限でもよい）. 証明： 次のことを主張する。任意の有限 R-加群 M に対して、 pd R M ≤ n ⇔ Tor n + 1 R ( M , k ) = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0} . dimension shifting （cf. 下記のセールの定理の証明）によって、 n = 0 {\displaystyle n=0} に対してこれを証明すれば十分である。するとしかし、平坦性の局所的判定法によって、 Tor 1 R ( M , k ) = 0 ⇒ M flat ⇒ M free ⇒ pd R ( M ) ≤ 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0} である。今、 g l . d i m R ≤ n ⇒ pd R k ≤ n ⇒ Tor n + 1 R ( − , k ) = 0 ⇒ pd R − ≤ n ⇒ g l . d i m R ≤ n {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n} であるので、証明が完了する。 補題 ― R 1 = R / f R {\displaystyle R_{1}=R/fR} とし、f を R の非零因子とする。f が有限加群 M 上非零因子であれば、 pd R M ≥ pd R 1 ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1})} . 証明： pd R M = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0} であれば、M は R-自由でありしたがって M ⊗ R 1 {\displaystyle M\otimes R_{1}} は R 1 {\displaystyle R_{1}} -自由である。次に pd R M > 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0} と仮定する。すると、K がある自由加群から M への全射の核であるとき、 pd R K = pd R M − 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1} である。したがって、帰納法により、 pd R M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} の場合を考えれば十分である。このとき射影分解 0 → P 1 → P 0 → M → 0 {\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0} , が存在して、これより Tor 1 R ( M , R 1 ) → P 1 ⊗ R 1 → P 0 ⊗ R 1 → M ⊗ R 1 → 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0} . しかし、 0 → R → f R → R 1 → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {f}{\to }}R\to R_{1}\to 0} を M でテンソルすることで、最初の項が消えることがわかる。それゆえ、 pd R ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})} は高々 1 である。 セールの定理 ― R が正則 ⇔ g l . d i m R < ∞ ⇔ g l . d i m R = dim R . {\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.} 証明： R が正則であれば、 k = R / ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})} と書ける、ただし f i {\displaystyle f_{i}} はパラメータの正則系である。有限加群の完全列 0 → M → f M → M 1 → 0 {\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0} 、 f は極大イデアルのある元、 pd R M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty } によって、 0 = Tor i + 1 R ( M , k ) → Tor i + 1 R ( M 1 , k ) → Tor i R ( M , k ) → f Tor i R ( M , k ) , i ≥ pd R M . {\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.} しかしここで f は k を殺すので 0 である。したがって、 Tor i + 1 R ( M 1 , k ) ≃ Tor i R ( M , k ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)} でありその結果 pd R M 1 = 1 + pd R M {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M} である。これを使って、次を得る。 pd R k = 1 + pd R ( R / ( f 1 , … , f n − 1 ) ) = ⋯ = n . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.} 逆の証明は dim R {\displaystyle \operatorname {dim} R} についての帰納法による。inductive step を先にやる。 f 1 {\displaystyle f_{1}} をパラメータ系の元として R 1 = R / f 1 R {\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R} とおく。R が正則であることを示すためには、 R 1 {\displaystyle R_{1}} が正則であることを示せば十分である。しかし、 dim R 1 < dim R {\displaystyle \dim R_{1}<\dim R} であるので、帰納法の仮定と前の補題で M = k {\displaystyle M=k} としたものによって、 pd R k = g l . d i m R < ∞ ⇒ pd R 1 k = g l . d i m R 1 < ∞ ⇒ R 1 regular . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {pd} _{R_{1}}k=\operatorname {gl.dim} R_{1}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.} basic step が残っている。 dim R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} とする。 g l . d i m R {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R} が有限であれば 0 であると主張する。（このことは R が半単純環、すなわち体であることを意味している。）もしそうでないと仮定すると、ある有限加群 M {\displaystyle M} が存在して 0 < pd R M < ∞ {\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty } であり、したがって実は pd R M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} であるような M が存在する。中山の補題によって、全射 u : F → M {\displaystyle u:F\to M} であって u ⊗ 1 : F ⊗ k → M ⊗ k {\displaystyle u\otimes 1:F\otimes k\to M\otimes k} が同型であるようなものが存在する。K でその核を表記すれば、 0 → K → F → u M → 0 {\displaystyle 0\to K\to F{\overset {u}{\to }}M\to 0} . pd R K = pd R M − 1 = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1=0} であるので、K は自由である。 dim R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} であるので、極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は R の素因子である。すなわち、ある s ∈ R に対して m = ann ( s ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)} である。 K ⊂ m M {\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}M} であるので、 s K = 0 {\displaystyle sK=0} である。K は 0 でないので、このことは s = 0 {\displaystyle s=0} を意味し、矛盾である。証明が完了した。
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