デデキント整域

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デデキント環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/17 03:23 UTC 版)

デデキント環（デデキントかん、Dedekind ring）、あるいはデデキント整域（デデキントせいいき、Dedekind domain）とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

定義

体でない整域 R について、以下の条件は同値である。

• Rの任意の0でない真のイデアルは、有限個の素イデアルの積にかける。
• R はネーター環で、クルル次元が1で、正規である。
• R の任意の0でない分数イデアルは可逆である。
• R はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化は離散付値環（DVR）である。

デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。

例

• 単項イデアル整域はデデキント環である。
• K を有理数体 Q の有限次拡大体とすると、K の整数環 O_K （K における Z の整閉包）はデデキント環である。

加群の構造

デデキント環 R 上の有限生成加群 M の構造は次の様になる。有限生成加群 M に対して、ある零でない整イデアルの列 I₁ ⊆ … ⊆ I_n と階数有限の自由加群 F、可逆イデアル I が存在して同型

$M\cong R/I_{1}\oplus \dotsb \oplus R/I_{n}\oplus F\oplus I$ この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

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デデキント整域

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 00:25 UTC 版)

「分数イデアル」の記事における「デデキント整域」の解説

デデキント整域において、この状況ははるかに単純である。特に、すべての分数イデアルは可逆である。実はこの性質はデデキント整域を特徴づける。整域がデデキント整域であるのはすべての分数イデアルが可逆であるとき、かつそのときに限る。 分数イデアルの群を単項分数イデアルからなる部分群で割った商群はデデキント整域の重要な不変量であり、イデアル類群と呼ばれる。