有限加群とは? わかりやすく解説

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有限生成加群

(有限加群 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/16 17:40 UTC 版)

数学において、有限生成加群(ゆうげんせいせいかぐん、: finitely generated module)とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる[1]

関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。

たとえば上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。

定義

R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。

この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像




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