非可換の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 02:17 UTC 版)
ただの体の直積ではないすべての半単純環 R は非可換右かつ左主イデアル域である。すべての右と左イデアルは R の直和成分であるので e を R の冪等元として eR あるいは Re の形である。この例と並行して、フォン・ノイマン正則環は右かつ左ベズー環であることが確かめられる。 D が可除環で σ {\displaystyle \sigma } が自己同型でない環自己準同型であれば、skew polynomial ring D [ x , σ ] {\displaystyle D[x,\sigma ]} は右ネーターでない主左イデアル域であることが知られており、したがって主右イデアル環ではありえない。このことは域に対してさえも主左と主右イデアル環は異なるということを示している (Lam & 2001, p.21)。
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