多項式環
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、英語: polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。
目次
体上の一変数多項式環 K[X]
「多項式」も参照
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
環上の多変数多項式環は、「もっとも一般」の有限生成可換多元環である。すなわち以下の普遍性が成り立つ[1]:
- 普遍性
- 可換環 R 上の可換 R 多元環 φ : R → A とその元 x1, …, xn ∈ A に対して、多項式環 R[X1, …, Xn] から A への環準同型 で |R = φ と (Xi) = xi (i = 1, …, n) を満たすものがただ一つ存在する。
したがって特に、環 R 上の多元環 A が R 上有限生成ならば、A は R 上適当な階数の多項式環の準同型像である。この意味において、多項式環は（与えられた集合を不定元の集合とする）自由可換多元環（可換多元環の圏における自由対象）を与える。特に（R = Z を有理整数環とするとき、任意の環は Z-多元環と見なせるから）、整係数多項式環 Z[X1, …, Xn] は自由可換環である。
代数幾何学において
詳細は「ヒルベルトの零点定理」を参照
体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。
ダフィット・ヒルベルトに端を発する多項式環 K[X1, …, Xn] のイデアルと Kn の代数的集合 との間の関係に関する基本的な結果のいくつかは零点定理（ドイツ語: Nullstellensatz）と呼ばれる。
- （弱形：係数が代数閉体の場合）K を代数的閉体とすると K[X1, …, Xn] の任意の極大イデアル m は
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。
出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（2008年2月）- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556
- Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 196, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98934-1, MR1757274
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Polynomial Ring". MathWorld（英語）.
- polynomial in nLab, Example 1.4.
- polynomial ring - PlanetMath.（英語）
- polynomial ring over a field - PlanetMath.（英語）
- polynomial ring over integral domain - PlanetMath.（英語）
- Definition:Polynomial Ring at ProofWiki
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Ring of polynomials", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
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