滑らかさの分類とは? わかりやすく解説

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滑らかさの分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/08 12:47 UTC 版)

滑らかな関数」の記事における「滑らかさの分類」の解説

関数 f が連続的微分可能れんぞくてきびぶんかのう、英: continuously differentiable)であるとは、f に導関数 f′ が存在してなおかつその f′ が連続関数となることをいう。同様に自然数 k について、f の k 階の導関数存在して連続であるとき、f は k 階連続的微分可能であるといい、また f は Ck 級関数であるという。微分可能な関数連続であることから、Ck (k = 1, 2, ...) は包含関係に関して増加な列を成している。任意有限階の導関数をもつ関数は無限階(連続的微分可能であるといい、そのクラスは C∞ で表される関数のクラス Ck を、k 階の導関数存在して連続であり、なおかつ k + 1 階の導関数存在しないかあるい存在して連続でない関数全体が成す類とすることもある。この場合、各クラス交わり持たない排他的な分類与える。 さらに強い滑らかさを表すクラスとして、解析関数つまり各点冪級数展開可能な関数のクラス がある。また場合により、連続関数クラス C を 0 階連続的微分可能関数のクラス C0 として、滑らかな関数仲間入れて考えことがある滑らかさクラス考えることは、具体的な定義域と値域をあたえることで、たくさんの関数空間(の台集合)の例を与える。関数の定義域が X であるときそれを明示して、X 上で定義される Ck 級関数全体の成す空間をしばしば Ck(X) のように記す。定義域 X は多く場合 "滑らかな" 位相空間である。さらに値域 Y をも明示して Ck(X; Y) などと記すこともある。値域 Y はこの空間係数見なされるp-進解析のようにある種リジッド (rigid) な空間考えているとき、そこでは空間の全不連結性から必ずしも実解析あるいは複素解析的な意味での微積分考えることはできないが、例え局所定数関数全体の成すクラスを C∞ とすることがある

※この「滑らかさの分類」の解説は、「滑らかな関数」の解説の一部です。
「滑らかさの分類」を含む「滑らかな関数」の記事については、「滑らかな関数」の概要を参照ください。

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