滑らかなカットオフ函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:10 UTC 版)
単位球 B 1 = { x : | x | < 1 } {\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}} の指示函数と、（ ϵ = 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2} として (3) で定義される）滑らかな函数 φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} との畳み込みによって、函数 χ B 1 , 1 / 2 ( x ) = χ B 1 ∗ φ 1 / 2 ( x ) = ∫ R n χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y = ∫ B 1 / 2 χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y ( ∵ s u p p ( φ 1 / 2 ) = B 1 / 2 ) {\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})} が得られる。これは B 1 / 2 = { x : | x | < 1 / 2 } {\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}} 上で 1 {\displaystyle 1} と等しく、台は B 3 / 2 = { x : | x | < 3 / 2 } {\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}} に含まれる滑らかな函数である。これは | x | {\displaystyle |x|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} および | y | {\displaystyle |y|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} であれば | x − y | {\displaystyle |x-y|} ≤ 1 {\displaystyle 1} であることから容易に分かる。したがって、 | x | {\displaystyle |x|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} に対し、 ∫ B 1 / 2 χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y = ∫ B 1 / 2 φ 1 / 2 ( y ) d y = 1 {\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1} が成り立つ。この構成法が、ある与えられたコンパクト集合の近傍において 1 に等しく、その集合からの距離が与えられた ϵ {\displaystyle \scriptstyle \epsilon } よりも大きいすべての点において 0 に等しいような滑らかな函数を得るために一般化する方法は、容易に分かる。そのような函数は（滑らかな）カットオフ函数と呼ばれる。それらの函数は、乗算によって、与えられた超函数の特異性を消すために用いられる。それらは与えられた集合の上でのみ超函数の値を不変に保つものであるため、その函数の台を修正するものである。カットオフ函数はまた、単位元の滑らかな分割を与える基本的なものである。
※この「滑らかなカットオフ函数」の解説は、「軟化子」の解説の一部です。
「滑らかなカットオフ函数」を含む「軟化子」の記事については、「軟化子」の概要を参照ください。
- 滑らかなカットオフ函数のページへのリンク
