具体的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 00:35 UTC 版)
フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法（図1）、もう1つはシェルピンスキーの三角形のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法（図2）である。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。 ユークリッド次元 D に存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向に 1/l に縮めると、もとの図形を埋めるには N = lD 個の自己相似図形が必要となる（図1）。しかしながら、 D = log N ( l ) log l {\displaystyle D={\frac {\log N(l)}{\log l}}} （ここで対数の基数は任意）によって定義される次元はまだその位相次元もしくはユークリッド次元と等しい。上記の等式をフラクタル構造に適用することによって、期待された通り非整数となるフラクタル構造の次元（これは事実上ハウスドルフ次元である）を得ることができる。 D = lim ϵ → 0 log N ( ϵ ) log 1 ϵ {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} ここで N(ε) はもとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。 例えば、シェルピンスキーの三角形（図2）は ½ に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる： D = lim ϵ → 0 log N ( ϵ ) log ( 1 ϵ ) = lim k → ∞ log 3 k log 2 k = log 3 log 2 ≈ 1.585 {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585} 同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は D = lim ϵ → 0 log N ( ϵ ) log ( 1 ϵ ) = lim k → ∞ log 4 k log 3 k = log 4 log 3 ≈ 1.262 {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 4^{k}}{\log 3^{k}}}={\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1.262} となり、シェルピンスキーの三角形はコッホ雪片と比べ密であると言える。 これと密接に関連するのがボックス次元（英語版）であり、これは空間がサイズεの箱によるグリッドに分割されるとき、いくつのこのサイズの箱がアトラクターの一部を含むかを考えるものである。これもまた： D 0 = lim ϵ → 0 log N ( ϵ ) log 1 ϵ {\displaystyle D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} その他の次元量としては情報次元があり、これは箱のサイズが小さくなってゆくときに、ある占められた箱を特定するために必要とされる平均情報量がどれだけ変化するかを考えるものである： D 1 = lim ϵ → 0 − ⟨ log p ϵ ⟩ log 1 ϵ {\displaystyle D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} また、相関次元（英語版）は恐らく最も計算が簡単なものであり、 D 2 = lim ϵ → 0 , M → ∞ log ( g ϵ / M 2 ) log ϵ {\displaystyle D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon }}} ここでMはフラクタルもしくはアトラクターを表すのに用いられる点の数、gεは互いに距離εよりも近い点のペアの数である。
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