完全不連結空間

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完全不連結空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/17 00:49 UTC 版)

位相空間論やそれに関わる分野において、完全不連結空間（かんぜんふれんけつくうかん、totally disconnected space）は非自明な連結部分集合を持たないという意味で最も不連結な位相空間である。すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれらしか連結部分集合がない。

完全不連結空間の重要な例の1つはカントール集合である。別の例は p-進数体 Q_p で、代数的整数論において重要な役割を果たす。

定義

位相空間 X は、X の連結成分が一点集合であるときに、完全不連結 (totally disconnected) であるという。

例

以下は完全不連結空間の例である。

• 離散空間
• 有理数全体
• 無理数全体
• p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
• カントール集合
• ベール空間
• ゾルゲンフライ直線（英語版）
• 0次元 T₁ 空間
• extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
• ストーン空間
• Knaster–Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
• エルデシュ空間（英語版） ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\cap \mathbb {Q} ^{\omega }}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月）

• Willard, Stephen (2004), General topology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR2048350  (reprint of the 1970 original, MR0264581)

関連項目

• 完全不連結群