蛇の補題

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蛇の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/19 03:10 UTC 版)

蛇の補題（へびのほだい、英: snake lemma）、スネーク・レンマは数学、特にホモロジー代数において、長完全列を構成するために使われる道具である。蛇の補題はすべてのアーベル圏で有効であり、ホモロジー代数やその応用、例えば代数トポロジーにおいて、きわめて重要な道具である。補題の助けによって構成された準同型は一般に連結準同型 (connecting homomorphism) と呼ばれる。

ステートメント

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、可換図式

を考える。ただし2つの列は完全で、0 は零対象である。すると a, b, c の核や余核に関連した完全列

$\ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c$

補題の結論である完全列を、ずるずる滑っている蛇のような逆 S 字に、この広げられた図式に描くことができることに注意しよう。

写像の構成

核の間の写像と余核の間の写像は、図式の可換性によって、与えられた（水平の）写像から自然な方法で誘導される。2つの誘導された列の完全性はもとの図式の行の完全性から直ちに従う。補題の重要なステートメントは、完全列を完成させる連結準同型 d が存在するということである。

アーベル群やある環上の加群の場合、写像 d は次のように構成できる。ker c の元 x をとり、それを C の元と見る。g は全射なので、ある B の元 y が存在して、g(y) = x である。図式の可換性によって、$g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0\!$

上の図式が可換で行が完全であるとすれば、蛇の補題を「手前」と「奥」で2回適用することができ、2つの長完全列が得られる。これらは下の形の可換図式によって関係している。

大衆文化において

• 蛇の補題の証明は1980年の映画 It's My Turn の最初にジル・クレイバーグによって教えられている。

関連項目

• en:List of lemmas

参考文献

• Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, p. 157, - Google ブックス)
• M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
• P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, - Google ブックス)

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Snake Lemma". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list
• Snake Lemma at PlanetMath
• Proof of the Snake Lemma in the film It's My Turn

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蛇の補題

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「ホモロジー代数学」の記事における「蛇の補題」の解説

詳細は「蛇の補題」を参照 任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、可換図式 を考える。ただし2つの列は完全で、0 は零対象である。すると a, b, c の核や余核に関連した完全列 ker ⁡ a ⟶ ker ⁡ b ⟶ ker ⁡ c ⟶ d coker ⁡ a ⟶ coker ⁡ b ⟶ coker ⁡ c が存在する。さらに、射 f がモノ射であれば、射 ker a → ker b もモノ射であり、g' がエピ射であれば、coker b → coker c もエピ射である。