数学 、特にホモロジー代数学 におけるジグザグ補題 （ジグザグほだい、英 : zig-zag lemma ）は、鎖複体 のホモロジー群 から成るある種の長完全列 の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏 で通用する。
ステートメント 任意のアーベル圏（アーベル群 の圏や与えられた体 上のベクトル空間 の圏など）において、
(
A
,
∂
∙
)
,
(
B
,
∂
∙
′
)
,
(
C
,
∂
∙
″
)
{\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }'),({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}
ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。
ジグザグ補題は、境界写像（族）
δ
n
:
H
n
(
C
)
⟶
H
n
−
1
(
A
)
,
{\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}
α
∗
{\displaystyle \alpha _{*}^{}}
β
∗
{\displaystyle \beta _{*}^{}}
δ
n
{\displaystyle \delta _{n}^{}}
蛇の補題 』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。
境界写像の構成 写像
δ
n
{\displaystyle \delta _{n}^{}}
c
∈
C
n
{\displaystyle c\in C_{n}}
H
n
(
C
)
{\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}
∂
n
″
(
c
)
=
0
{\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}
β
n
{\displaystyle \beta _{n}^{}}
β
n
(
b
)
=
c
{\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}
b
∈
B
n
{\displaystyle b\in B_{n}}
β
n
−
1
∂
n
′
(
b
)
=
∂
n
″
β
n
(
b
)
=
∂
n
″
(
c
)
=
0
{\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0}
再び行方向の完全性より、
∂
n
′
(
b
)
∈
ker
β
n
−
1
=
i
m
α
n
−
1
{\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}}
α
n
−
1
{\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}
α
n
−
1
(
a
)
=
∂
n
′
(
b
)
{\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}
a
∈
A
n
−
1
{\displaystyle a\in A_{n-1}}
α
n
−
2
{\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}
∂
2
=
0
{\displaystyle \partial ^{2}=0}
α
n
−
2
∂
n
−
1
(
a
)
=
∂
n
−
1
′
α
n
−
1
(
a
)
=
∂
n
−
1
′
∂
n
′
(
b
)
=
0
{\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0}
が従うからである（つまり
∂
n
−
1
(
a
)
∈
ker
α
n
−
2
=
{
0
}
{\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}
a
{\displaystyle a}
H
n
−
1
(
A
)
{\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}
δ
[
c
]
=
[
a
]
{\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}
と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。
関連項目 参考文献 Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology ISBN 0-521-79540-0 . http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Lang, Serge (2002), Algebra Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology . New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0 
![{\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e1f2259b95b17f0aedbe120073bd1bfa974133)
