境界写像の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 07:48 UTC 版)
写像 δ n {\displaystyle \delta _{n}^{}} は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。 c ∈ C n {\displaystyle c\in C_{n}} を、 H n ( C ) {\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})} に属すある同値類の代表元とする。よって ∂ n ″ ( c ) = 0 {\displaystyle \partial _{n}''(c)=0} 。行方向の完全性より β n {\displaystyle \beta _{n}^{}} は全射なので、 β n ( b ) = c {\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c} となる b ∈ B n {\displaystyle b\in B_{n}} が存在しなければならない。図式の可換性より、 β n − 1 ∂ n ′ ( b ) = ∂ n ″ β n ( b ) = ∂ n ″ ( c ) = 0 {\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0} 再び行方向の完全性より、 ∂ n ′ ( b ) ∈ ker β n − 1 = i m α n − 1 {\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}} α n − 1 {\displaystyle \alpha _{n-1}^{}} は単射だから、 α n − 1 ( a ) = ∂ n ′ ( b ) {\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)} を満たす a ∈ A n − 1 {\displaystyle a\in A_{n-1}} が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら α n − 2 {\displaystyle \alpha _{n-2}^{}} は単射で、かつ ∂ 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}=0} より α n − 2 ∂ n − 1 ( a ) = ∂ n − 1 ′ α n − 1 ( a ) = ∂ n − 1 ′ ∂ n ′ ( b ) = 0 {\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0} が従うからである（つまり ∂ n − 1 ( a ) ∈ ker α n − 2 = { 0 } {\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}} ）。 a {\displaystyle a} は輪体なので、 H n − 1 ( A ) {\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})} に属すある同値類の代表元になる。ここで、 δ [ c ] = [ a ] {\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]} と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。
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