和集合と共通部分の追加規則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)
「集合の代数学」の記事における「和集合と共通部分の追加規則」の解説
次の命題は、和集合と共通部分に関する6つの重要な法則を示している。 命題 3: 普遍集合 U の任意の部分集合 A と B について、以下が成り立つ。 等冪法則（idempotent laws）: A ∪ A = A {\displaystyle A\cup A=A} A ∩ A = A {\displaystyle A\cap A=A} 統治法則（domination laws）: A ∪ U = U {\displaystyle A\cup U=U} A ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing } 吸収法則（absorption laws）: A ∪ ( A ∩ B ) = A {\displaystyle A\cup (A\cap B)=A} A ∩ ( A ∪ B ) = A {\displaystyle A\cap (A\cup B)=A} 前述の通り、命題3の各法則は命題1および命題2の基本法則から導出できる。例として、以下に和集合の等冪法則の証明を示す。 証明: A ∪ A {\displaystyle A\cup A} = ( A ∪ A ) ∩ U {\displaystyle =(A\cup A)\cap U} 共通部分の同一性の規則による = ( A ∪ A ) ∩ ( A ∪ A C ) {\displaystyle =(A\cup A)\cap (A\cup A^{\mathrm {C} })} 和集合の相補性の規則による = A ∪ ( A ∩ A C ) {\displaystyle =A\cup (A\cap A^{\mathrm {C} })} 共通部分に対する和集合の分配法則による = A ∪ ∅ {\displaystyle =A\cup \varnothing } 共通部分の相補性の規則による = A {\displaystyle =A} 和集合の同一性の規則による 次の証明は、上記の和集合の等冪法則の証明と双対関係にあり、共通部分の等冪法則の証明となっている。 証明: A ∩ A {\displaystyle A\cap A} = ( A ∩ A ) ∪ ∅ {\displaystyle =(A\cap A)\cup \varnothing } 和集合の同一性の規則による = ( A ∩ A ) ∪ ( A ∩ A C ) {\displaystyle =(A\cap A)\cup (A\cap A^{\mathrm {C} })} 共通部分の相補性の規則による = A ∩ ( A ∪ A C ) {\displaystyle =A\cap (A\cup A^{\mathrm {C} })} 和集合に対する共通部分の分配法則による = A ∩ U {\displaystyle =A\cap U} 和集合の相補性の規則による = A {\displaystyle =A} 共通部分の同一性の規則による
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