和集合、交差、および相対補集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 07:54 UTC 版)
「素朴集合論」の記事における「和集合、交差、および相対補集合」の解説
2つの集合 A と B が与えられたとき、それらの和集合は、A または B 、あるいはその両方の要素であるすべての対象で構成される集合であり（和集合の公理を参照）、A ∪ B で表される。 A と B の共通部分は、 A と B の両方にあるすべての対象の集合であり、A ∩ B で表される。 最後に、 A に対する B の相対補集合（A と B の差集合とも呼ばれる）は、 A に属するが B には属さないすべての対象の集合であり、 A \ B や A − B で表される。 記号的には、これらはそれぞれ以下のように表される A ∪ B := {x : (x ∈ A) or(x ∈ B)} A ∩ B := {x : (x ∈ A) and(x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B } = {x ∈ B : x ∈ A} A \ B := {x : (x ∈ A) and not(x ∈ B)} = {x ∈ A : not( x ∈ B )} A \ B が意味あるものとするために、集合 B が A の部分集合である必要はない。これは、相対補集合と前節における絶対補集合（ AC = U \ A ）の違いである。 これらの概念を説明するために、A を左利きの人の集合とし、B を金髪の人の集合とする。すると A ∩ B はすべての左利きの金髪の人の集合であり、Aは ∪ Bは、左利きまたは金髪、あるいはその両方のすべての人の集合である。一方、A \ B は左利きであるが金髪ではないすべての人の集合であり、 B \ A は、金髪だが左利きではないすべての人の集合となる。 ここで、E をすべての人の集合とし、F を1000年以上生きているすべての生物の集合とする。この場合 E ∩ F はどうなるだろうか？ 1000歳以上の生きている人間はいないので、 E ∩ F は空集合{}でなければならない。 任意の集合 A について、べき集合 P ( A ) {\displaystyle P(A)} は、和集合と共通部分の演算の下でブール代数をなす。
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