完全ベル多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/19 03:29 UTC 版)
次の和 B n ( x 1 , … , x n ) = ∑ k = 1 n B n , k ( x 1 , x 2 , … , x n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})} はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 Bn,k はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。 完全ベル多項式は次の等式を満たす。 B n ( x 1 , … , x n ) = det [ x 1 ( n − 1 1 ) x 2 ( n − 1 2 ) x 3 ( n − 1 3 ) x 4 ( n − 1 4 ) x 5 ⋯ ⋯ x n − 1 x 1 ( n − 2 1 ) x 2 ( n − 2 2 ) x 3 ( n − 2 3 ) x 4 ⋯ ⋯ x n − 1 0 − 1 x 1 ( n − 3 1 ) x 2 ( n − 3 2 ) x 3 ⋯ ⋯ x n − 2 0 0 − 1 x 1 ( n − 4 1 ) x 2 ⋯ ⋯ x n − 3 0 0 0 − 1 x 1 ⋯ ⋯ x n − 4 0 0 0 0 − 1 ⋯ ⋯ x n − 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ − 1 x 1 ] . {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}
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