完全不連結性とカントール空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「完全不連結性とカントール空間」の解説
学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。 しかし完全不連結性はこうした範疇から外れた性質で、位相空間 X 上の連結部分集合は空集合、全体集合、および一点集合に限られる事を意味する。 完全不連結な空間の例としては有理数の集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } がある。 しかし完全不連結な空間は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のように距離空間として完備ではないものに限らない。 カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。 実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理)： 孤立点を持たない非空の完全不連結コンパクト距離化可能空間
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