孤立点とは? わかりやすく解説

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孤立点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/14 05:11 UTC 版)

"0" は集合 A = {0} ∪ [1,2] の孤立点である。

位相空間論において、位相空間 X の点 xX の部分集合 S孤立点(こりつてん、: isolated point)であるとは、xS に属し、かつ、x近傍であって x 以外の S の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。

特に Xユークリッド空間(あるいはもっと一般の距離空間)の場合に即して言えば、xS の孤立点であるとは、x を中心とする開球体のうち x 以外の S の点を含まないものが存在するということを意味する。

別な言葉で言えば、点 xSS において孤立するための必要十分な条件は、xS集積点とはならないことである。

孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である(これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に一対一に写すという意味になるためである)。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合 Q差の絶対値英語版を距離函数とした距離空間)。離散空間も参照。

孤立点を持たない集合は自己稠密英語版であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合英語版という。

「孤立点の数」というのは位相的性質(位相不変量英語版)の一種である。すなわち、位相空間 XY が互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。

以下に示す位相空間は実数直線 R1 の部分位相空間と見なす。

  • 集合 S = {0} ∪ [1,2] において、0 は孤立点である。
  • 集合 S = {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, …} において、点 1k は孤立点だが、0 以外で 0 にいくらでも近い点が S の中に存在するため、0 は孤立点ではない。
  • 自然数の集合 N = {0, 1, 2, …} は離散集合である。
  • モースの補題はある種の函数の非退化臨界点英語版が孤立することを述べる。

直観に反する例

実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。

  • xi = 0 または xi = 1 の何れかが成り立つ。
  • xi = 1 となる添字 i は有限個しかない。
  • mxm = 1 なる最大の添字ならば xm−1 = 0 が成り立つ。
  • xi = 1 かつ i < m ならば xi−1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一で成り立つ。

これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。

さて F は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である[1]一方で、F はその閉包非可算集合になるという直観に反する性質を持つ[2]

同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点(例えば中央点)を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。

関連項目

参考文献

外部リンク


孤立点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/21 05:04 UTC 版)

曲線の特異点」の記事における「孤立点」の解説

詳細は「孤立点」を参照 c0 + 2mc1 + m2c2 = 0 が m について実解をもたなければ、すなわち c0c2 − c12 > 0 ならば、原点は孤立点(英語版)と呼ばれる。実平面において原点曲線の(位相的な)孤立点であるが、しかしながら複素曲線考えられたときは原点孤立しておらず c0 + 2mc1 + m2c2 = 0 の 2 つ複素解に対応する 2 つの虚接線をもつ。このとき関数 f は原点において極値をもつ。

※この「孤立点」の解説は、「曲線の特異点」の解説の一部です。
「孤立点」を含む「曲線の特異点」の記事については、「曲線の特異点」の概要を参照ください。

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