直観に反する例とは? わかりやすく解説

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直観に反する例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/14 05:11 UTC 版)

孤立点」の記事における「直観に反する例」の解説

実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。 xi = 0 または xi = 1 の何れか成り立つ。 xi = 1 となる添字 i は有限しかない。 m が xm = 1 なる最大添字ならば xm−1 = 0 が成り立つ。 xi = 1 かつ i < m ならば xi−1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一成り立つ。 これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後一つ孤立するということである。 さて F は全く孤立点のみからなる陽に表され集合である一方で、F はその閉包非可算集合になるという直観反す性質を持つ。 同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合補集合において、その各連結成分から一点例え中央点)を選び出すことでも与えられる。この集合各点孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。

※この「直観に反する例」の解説は、「孤立点」の解説の一部です。
「直観に反する例」を含む「孤立点」の記事については、「孤立点」の概要を参照ください。

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