ジョルダン細胞の平方根

ウィキペディア小見出し辞書

ジョルダン細胞の平方根

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:33 UTC 版)

「行列の平方根」の記事における「ジョルダン細胞の平方根」の解説

ジョルダン細胞 J n ( λ ) とはn次正方行列で、 j < i {\displaystyle j i + 1 {\displaystyle j>i+1} のとき J n ( λ ) i j = 0 {\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ij}=0} となるものを言う。 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} の平方根は、下記の行列 K {\displaystyle K} および − K {\displaystyle -K} である。 j < i {\displaystyle j i {\displaystyle j>i} のとき K i j = ( − 1 ) j − i − 1 ( 2 j − 2 i − 2 ) ! 2 2 j − 2 i − 1 ( j − i − 1 ) ! λ − ( 2 j − 2 i − 1 ) / 2 {\displaystyle K_{ij}={\frac {(-1)^{j-i-1}(2j-2i-2)!}{2^{2j-2i-1}(j-i-1)!}}\lambda ^{-(2j-2i-1)/2}} λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( 0 ) {\displaystyle J_{n}(0)} は、 n = 1 {\displaystyle n=1} の場合、平方根0を持つ n > 1 {\displaystyle n>1} の場合、平方根を持たない 例 J 2 ( 0 ) = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle J_{2}(0)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}} は平方根を持たない。 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} の平方根が２つしかないことは、次から言える。 K 2 = J n ( λ ) {\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )} となる行列が存在したとし、 K 3 {\displaystyle K^{3}} の成分を考える。 K i j 3 = ( J n ( λ ) K ) i j = { λ K i 1 + K i + 1 j ( 1 ≤ i ≤ n − 1 ) λ K n j ( i = n ) {\displaystyle K_{ij}^{3}=(J_{n}(\lambda )K)_{ij}={\begin{cases}\lambda K_{i1}+K_{i+1j}&(1\leq i\leq n-1)\\\lambda K_{nj}&(i=n)\end{cases}}} K i j 3 = ( K J n ( λ ) ) i j = { λ K i 1 ( j = 1 ) λ K i j + K i j − 1 ( 2 ≤ j ≤ n ) {\displaystyle K_{ij}^{3}=(KJ_{n}(\lambda ))_{ij}={\begin{cases}\lambda K_{i1}&(j=1)\\\lambda K_{ij}+K_{ij-1}&(2\leq j\leq n)\end{cases}}} K n j 3 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle K_{nj}^{3},2\leq j\leq n} を比較すると、 λ K n j = λ K n j + K n j − 1 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle \lambda K_{nj}=\lambda K_{nj}+K_{nj-1},2\leq j\leq n} このため K n j = 0 , 1 ≤ j ≤ n − 1 {\displaystyle K_{nj}=0,1\leq j\leq n-1} K i j 3 , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle K_{ij}^{3},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n} を比較すると、 λ K i j + K i + 1 j = λ K i j + K i j − 1 , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 2 ≤ j ≤ n {\displaystyle \lambda K_{ij}+K_{i+1j}=\lambda K_{ij}+K_{ij-1},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n} このため K i + 1 j + 1 = K i j , 1 ≤ i ≤ n − 1 , 1 ≤ j ≤ n − 1 {\displaystyle K_{i+1j+1}=K_{ij},1\leq i\leq n-1,1\leq j\leq n-1} このため、 K {\displaystyle K} は上三角行列で、斜めに同じ値が並ばなければならない。 K 2 = J n ( λ ) {\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )} の ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 成分を比較することにより、 K n n 2 = λ , K n n = ± λ {\displaystyle K_{nn}^{2}=\lambda ,K_{nn}=\pm {\sqrt {\lambda }}} が言え、以下 ( j , n ) {\displaystyle (j,n)} 成分 j = n − 1 , n − 2 , … , 1 {\displaystyle j=n-1,n-2,\dots ,1} を比較することにより、 K {\displaystyle K} の全ての成分が順番に１次方程式で定まるため、平方根が２つしかないことが言える。