ジョルダン細胞の対数行列

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ジョルダン細胞の対数行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:13 UTC 版)

「行列の対数」の記事における「ジョルダン細胞の対数行列」の解説

ジョルダン細胞 J n ( λ ) とは、n次正方行列で、 j < i {\displaystyle j i + 1 {\displaystyle j>i+1} のとき ( J n ( λ ) ) i j = 0 {\displaystyle (J_{n}(\lambda ))_{ij}=0} となる行列である。 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} の対数行列 log ⁡ ( J n ( λ ) ) {\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))} の各成分は、 j < i {\displaystyle j i {\displaystyle j>i} のとき ( log ⁡ ( J n ( λ ) ) ) i j = ( − 1 ) j − i − 1 ( j − i − 1 ) ! λ − j + i {\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ij}=(-1)^{j-i-1}(j-i-1)!\lambda ^{-j+i}} である。 このことは、次のことからわかる。 j > i {\displaystyle j>i} のとき、ジョルダン細胞の i j {\displaystyle ij} 成分は、 λ {\displaystyle \lambda } を変数とみて、 i i {\displaystyle ii} 成分を j − i {\displaystyle j-i} 回微分したものとなっている。同様の性質は、 J n ( λ ) k {\displaystyle J_{n}(\lambda )^{k}} 、単位行列、同様の性質を持つ行列の定数倍、同様の性質を持つ行列どうしの和についても成り立つ。このため、 log ⁡ ( J n ( λ ) ) = log ⁡ ( c ) I − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c J n ( λ ) ) k {\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}J_{n}(\lambda )\right)^{k}} についても同様の性質が成り立つ。 log ⁡ ( J n ( λ ) ) {\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))} の対角成分は明らかに log ⁡ ( λ ) {\displaystyle \log(\lambda )} であるから、そこから順次微分して他の成分が分かる。