円柱座標系との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
「円柱座標系」も参照 x -y -z 空間に、標準座標系（O-xyz 系；「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、 ( r θ ζ ) = P ( x , y , z ) = {\displaystyle \left({\begin{matrix}r\\\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)=P(x,y,z)=} ( x 2 + y 2 θ ( x , y , z ) z ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{\sqrt {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\theta (x,y,z)\\z\\\end{matrix}}\right)} (1-4-1) θ ( x , y , z ) = { tan − 1 ( y / x ) ( x > 0 , y > 0 ) π 2 ( x = 0 , y > 0 ) π + tan − 1 ( y / x ) ( x < 0 ) 3 π 2 ( x = 0 , y < 0 ) 2 π + tan − 1 ( y / x ) ( x = 0 , y < 0 ) {\displaystyle \theta (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x>0,y>0)\\{\frac {\pi }{2}}&(x=0,y>0)\\\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x<0)\\{\frac {3\pi }{2}}&(x=0,y<0)\\2\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x=0,y<0)\\\end{matrix}}\right.} (1-4-2) 円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。 任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。 線分OQの長さをrとする。 線分QPの長さをζとする。 x軸と線分OQのなす角度をθとする。 また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。
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