円柱表面

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円柱表面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)

「円柱座標変換」の記事における「円柱表面」の解説

式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を ∂ M と書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ1 , Δ2 , Δ3 に分割することができる。 Δ 1 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 z = 0 } (3-2-1) Δ 2 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 = r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } (3-2-2) Δ 3 = { ( x y z )   | x 2 + y 2 ≤ r 0 z = z 0 } (3-2-3) Δ1 , Δ2 , Δ3 をそれぞれ、下面、側面、上面という。 逆に言うと、Δ1 , Δ2 , Δ3 を貼り合わせたものが∂M である。集合演算を用いると、 ∂ M = Δ 1 ∪ Δ 2 ∪ Δ 3 (3-2-4) のようになる。 次に、Δ1 , Δ2 , Δ3 を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。D1 , D2 , D3 を以下のように定める。 D 1 = { ( r θ )   | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π } (3-2-5) D 2 = { ( θ ζ )   | 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ζ ≤ z 0 } (3-2-6) D 3 = { ( r θ )   | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π } (3-2-7) D1 , D2 , D3 は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D1 とD3 は集合として全く等しいものである。 また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I1 , I2 , I3 を以下のように定義する。I1 , I2 , I3 の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD1 , D2 , D3 に制限して考えることにする。これらI1 , I2 , I3 を、それぞれΔ1 , Δ2 , Δ3 のパラメータと呼ぶ。 ( x y z ) = I 1 ( r , θ ) = Φ ( r , θ , 0 ) = ( r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 0 ) (3-2-8) ( x y z ) = I 2 ( θ , ζ ) = Φ ( r 0 , θ , ζ ) = ( r 0 cos ⁡ θ r 0 sin ⁡ θ ζ ) (3-2-9) ( x y z ) = I 3 ( r , θ ) = Φ ( r , θ , z 0 ) = ( r cos ⁡ ( − θ ) r sin ⁡ ( − θ ) z 0 ) (3-2-10) { Δ 1 = I 1 ( D 1 ) Δ 2 = I 2 ( D 2 ) Δ 3 = I 3 ( D 3 ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{\Delta }_{1}}={{\mathbf {I} }_{1}}({{D}_{1}})\\{{\Delta }_{2}}={{\mathbf {I} }_{2}}({{D}_{2}})\\{{\Delta }_{3}}={{\mathbf {I} }_{3}}({{D}_{3}})\\\end{array}}\right.} (3-2-11) ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ1 = I1(D1) とは、Δ1 とI1 (D1) が集合として等しいことを意味している。 Δ1 , Δ2 , Δ3 それぞれの法線ベクトルを、NΔ1 , NΔ2 , NΔ3と書く： N Δ 1 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ∥ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ∥ = N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{1}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)\right\|}}={{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (3-2-12) N Δ 2 ( θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ ζ ( r 0 , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ∥ ( ∂ Φ ∂ ζ ( r 0 , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) ∥ = N r ( r , θ , ζ ) = ( − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{2}}}(\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}({r}_{0},\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}({r}_{0},\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}={{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} (3-2-13) N Δ 3 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ∥ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ∥ = − N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 − 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{3}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\right\|}}=-{{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta _{0})=\left({\begin{matrix}0\\0\\-1\\\end{matrix}}\right)} (3-2-14) NΔ1 , NΔ2 , NΔ3 の定義域は、それぞれD1 , D2 , D3 である。ここで、Nθに平行なものがないことに注意されたい。