多変数の形式的冪級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/14 03:12 UTC 版)
「形式的冪級数」の記事における「多変数の形式的冪級数」の解説
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり XΛ を λ ∈ Λ に対し不定元 Xλ 全体の集合とすれば、単項式 Xα は XΛ の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 A にもつ XΛ の形式的冪級数は単項式 Xα の集合から対応する係数 cα への任意の写像によって決定され、 ∑ α c α X α {\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }} と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[XΛ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。 ( ∑ α c α X α ) + ( ∑ α d α X α ) := ∑ α ( c α + d α ) X α {\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }} および ( ∑ α c α X α ) × ( ∑ α d α X α ) := ∑ α , β c α d β X α + β {\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }} 一変数の場合と同様に、A[XI] ⊂ A[[XI]] である。 Λ := {1, 2, …, n} の場合には、A[[XΛ]] = A[[X1, X2, …, Xn]] とも書かれる。A[[X1, …, Xn]] = A[[X1, …, Xn-1]] [[Xn]] である。
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