多変数におけるキュムラント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 22:25 UTC 版)
「キュムラント」の記事における「多変数におけるキュムラント」の解説
多変数の確率変数X1,..., Xnに対するキュムラントも、そのキュムラント母関数の級数展開の係数として、次式で与えられる。 log M ( s 1 , … , s n ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k ! ∑ j 1 , … , j k = 1 n ⟨ X j 1 ⋯ X j k ⟩ c s j 1 ⋯ s j k = ∑ k = 1 ∞ ∑ k 1 + ⋯ + k n = k ⟨ X 1 k 1 ⋯ X n k n ⟩ c s 1 k 1 ⋯ s n k n k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\log {M(s_{1},\dots ,s_{n})}&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1},\dots ,j_{k}=1}^{n}\langle X_{j_{1}}\dotsb X_{j_{k}}\rangle _{\mathrm {c} }s_{j_{1}}\dotsb s_{j_{k}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{k_{1}+\dots +k_{n}=k}\langle X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n}^{k_{n}}\rangle _{\mathrm {c} }{\frac {s_{1}^{k_{1}}\dotsb s_{n}^{k_{n}}}{k_{1}!\dotsb k_{n}!}}\end{aligned}}} ここで、第一行の右辺は、j1,..., jkは1,..., nの値を自由に取るものとした、変数の重複も含む表現であり、第二行の右辺は変数の重複は含まない表現である。 多変数のキュムラントは、確率変数X1,..., Xnが二つ以上の互いに独立な組に分かれるとすると、それらのなかで独立な変数にまたがるキュムラントは常に０になるという重要な性質を有する。 ⟨ X j 1 ⋯ X j k ⟩ c = 0 {\displaystyle \langle X_{j_{1}}\dotsb X_{j_{k}}\rangle _{\mathrm {c} }=0} （独立な組に分けられる場合） 実際、確率変数が例えば、(X1,..., Xm)、(Xm+1,..., Xn)と二つの独立な組に分かれるとすると、モーメント母関数はその性質から二つの積に分解される。 M ( s 1 , … , s n ) = M ( s 1 , … , s m ) M ( s m + 1 , … , s n ) {\displaystyle M(s_{1},\dots ,s_{n})=M(s_{1},\dots ,s_{m})M(s_{m+1},\dots ,s_{n})} 従って、キュムラント母関数は log M ( s 1 , … , s n ) = log M ( s 1 , … , s m ) + log M ( s m + 1 , … , s n ) {\displaystyle \log {M(s_{1},\dots ,s_{n})}=\log {M(s_{1},\dots ,s_{m})}+\log {M(s_{m+1},\dots ,s_{n})}} となり、左辺の級数展開において、二つの組にまたがる変数の積の項は現れず、対応するキュムラントは０となる。二つ以上の互いに独立な組に分かれる場合も同様である。
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